第42卷第2期2021 年
物理教师
PH Y SICS T E A C H E R
Vol. 42 No. 2
谢礼平
(南京东山外国语学校，江苏南京211103)
摘要：本文起源于一道高三物理训练题.该题引发了教师间较为热烈的讨论.为获得本题的确切结果，本文 从理论上探究了雨滴在空中下落运动情况，包含位置时间关系、速度时间关系以及加速度时间关系，并用手机A P P教学软件描绘了相应的函数图像，最后对本题的再编辑给出建议.
关键词：雨滴下落运动；空气阻力；二阶常微分方程
1问题提出
某高三物理训练卷中出现这样一道习题.
例题.已知雨滴在空中运动时所受的空气阻力/=Ar2T/，其中々为比例系数为雨滴的半径，^为雨滴下落速度，（=0时，雨滴由静止开始沿竖直方向下落•落地前雨滴已做匀速直线运动且速率为w。，用a表示雨滴的加速度，g表示重力加速 度，下列图像可能正确的是
(A)(B)
(C)(D)
图1
本题给出的正确选项为（八）、（13)、（(：）.针对(A)选项，许多教师展开了热烈的讨论.都觉得这是一个错误选项，理由如下.由牛顿第二定律
这是一个关于时间/的函数式，两边求导数，可得
设I为雨滴下落某时刻的位置，根据初始条件：当？=0时，x=0，r=:r'=0，故在初始时刻加速度对时间的变化率应为〇，（A)选项与此结论矛盾，该选项是错误的.
以上讨论，由初始位置的信息确定了（A)是错 误选项，那么，从教师角度来看，（A)选项表示的加速度图像究竟是什么形状？（B)选项也是正确的吗？
2问题探究
2.1推导雨滴下落的位置时间关系、速度时间关系以及加速度时间关系表达式
原题中的已知条件都是以字母的形式呈现的，为使得问题的讨论更切合实际，本文从数据的层面上讨论本题.
百度搜索可知.下落中的雨滴的最常见半径为r=l mm，这样大小的雨滴下落的最终速度约为叫=5m/s，假设这些数据是真实的，取g= 10m/s2.
当雨滴匀速下落时，有
k r2v〇2=m g.(3)
由（3)、（4)两式可得
,__ A n p rg
张峻宁女友
3 2*
代人数据可得 1. 67 kg2/m3.
将此结果代入（1)式可得
a+0.Av2—10=0.
这是一个关于时间？的函数式，将其转化为位置x 的二阶微分方程，得
4x，2—10 =0. (5)令：r'=/>，那么
n=Ap #d£=dp
d x dt P A x'
可将（5)式化为
p •+0. 4/>2—10 =0.
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第42卷第2期
2021 年
上式进一步变形为
10 — 0. Ap 2
:d x .
凑项得
d (0. 4/?2~10) 0. 4/?2 —10
两边积分可得■〇. 8dx .
In | 0. 4p 2 — 10 | = —0• 8o r + C 卜 整理得0. 4p 2-10 = C2e _0-8j.
(6)
根据初始条件
当，=0时，1 = 0，/? = >2/ = 0，代入上式得(^2 =
-
10.
于是（6)式可化为 0• 4p2 = 10 —10e 一0 解得（负值舍去）
p = 5
—(
dx
~d i ：
得到
5d /::5 \/l — e "dx
V l ~e ~°
中林芽依再次凑项
5d / = 2. 5X de04
两边积分得
2^+C3 = In ( e°-4J + ^e 0-8j -1).
根据初始条件，当£ = 〇时，:r = 0可得C3=0. 于是可得e2r = e 〇.4,+v ^o r z r y i 化简上式得
e °"
e ^ + e
进一步化简为
x =2. 5Xln
，e2/+e —
(7)
天鹅湖吉他谱(7)式为雨滴下落的位置与时间的函数关系式，对 (7)式求导数，得到雨滴速度表达式
e2，一e —2, e 2/ + e -2/*
(
8)
进一步求导数，得到雨滴加速度表达式40
X — (e 2, + e —2，）2.(9)
2. 2 描绘（7) —（9)3式图像
在手机（如HUAW EI Mate 30 5G )下载超级
免费学古筝计算器 A P P ，名为“Maple Companion ”.
打开A P P ，分别输入3个函数式：图1与（7) 式对应的雨滴下落的位置时间图像，纵坐标表示
雨滴下落相对于出发点的位置，横坐标表示下落 时间.图2与（8)式对应的雨滴下落的速度时间图 像，纵坐标表示雨滴下落的速度大小，横坐标表示 下落时间.图3与（9)式的对应的雨滴下落的加速 度时间图像，纵坐标表示雨滴下落的加速度大小，
横坐标表示下落时间.由于C >〇，所以，对于图1 一
3，只需要观察第一象限的图像即可.
图2
3
问题讨论
(1)本题选项（B )是正确的，而（A )是错误的， 对（9)式求导数，可得showgirl游艇门
…
160X (e 2，_e _2')
(e 2, + e -2,)2 '
当Z = 〇时，加速度对时间
变化率为〇，在定义域范围内，
导函数不单调.正确的加速度 与时间的图像必然与图4所示 类似.
（下转第73页）
图4
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(2021)
7 -/34( \/34一2)s i n^^\/l26-•7 j
204V l26-7 734
3.3数值模拟
通过分析以上三幅图可以发现，A、C两球振 动的幅度相对较大，振动特点类似耦合摆，[4]且振 幅变化规律与差拍现象™类似；B球的振幅相对较小，它们的振幅都是随时间周期性变化，而且振幅变化周期近似相同，它们不具备简谐振动的特征.数值模拟的这些特点与在实验中观察到的现象是吻合的.
4结语
这种理论模型可以解释实验中观察到的一些现象：共振演示仪中各个小球的机械能是通过张紧的轻绳在各个小球之间来回传递，当系统振动达到稳定后，不再有“受迫摆”和“驱动摆”之分，它 们对系统稳定的贡献是“平权”的，没有主次之分. 摆长相等的两个摆振动幅度相对较大，振动规律近似相同，而摆长不同的摆振动幅度相对较小.每个小球的振幅都是随时间做周期性变化，且振幅变化的周期近似相同，所以每个小球发生的振动不是简谐振动，是一种特殊的振动现象.理论分析还表明：系统振动的本征频率个数与单摆个数相等，各个本征频率与各个小球的质量、摆长、轻绳 的弹性系数及重力加速度有关.
参考文献：
1普通高中课程标准实验教科书物理选修3-4 [M].北 京：人民教育出版社，2010:19 —21.
2陈奎孚.机械振动基础[M].北京：中国农业大学出版社，2011:190 — 210.
3赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程（力学）[M].北京：高 等教育出版社，2004: 264 —266.
4周衍柏.理论力学教程[M].北京：高等教育出版社，1986:306—309.
5 潘志民，于云卿.李尤.关于牛顿摆运动衰减的研究
[J]•物理教师，2020,41(4): 56 —62.
6王晓锴，高永伟看得见的声音”一基于S T E M理念 的共振教学[J].物理教师，2020,41(07): 69 — 72.
7姜付锦.一种弹簧摆运动规律的研究[J].物理教师，2012,33(8)： 47-48.
(收稿日期：2020— 09—30)
(上接第70页）
(2)从命题的角度来看，（A)选项不仅仅是科学性的问题，对这个选项的判断也完全超
出了一个中学生的数理能力，他们甚至不能使
用排除法解决它，这不是一道适合中学生解决
的问题.
(3)对本题的修改建议.
改编为多项选择题已知雨滴在空中运动时所受的空气阻力/=^~2，其中6为比例系数，r为 雨滴的半径，李金铭孙艺洲吻戏
u为雨滴下落速度“=〇时，雨滴由静 止开始沿竖直方向下落，落地前雨滴已做匀速直线运动且速率为训，用《表示雨滴的加速度，尽表 示重力加速度，下列图像可能正确的是
这样，学生可以排除（C)、（D)两个选项从而得到（A)、（B)正确答案.
参考文献：
1李俊鹏.郭姣，刘杰.注重问题解决能力落实学科核心素养-一2019年北京高考物理压轴的评析与教学启示[J].物理教师，2019(8): 73 —75.
(收稿日期：2020—09—26)
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