6年6月号
6
问题解答
2006年第6期问题
21a 1+1a 2+1a 3+…+1a n !"≤（n-2）1a 1+1a n !"+21a 1+1a n
!"
=n
1a 1
+1a n
!"
.
所以有
1a 1+1a 2+1a 3+…+1a n ≤12n 1a 1+1a n
!".则易知11+12+13+…+1n ≤12n 11+1n !"=n+12.所以n+1=2
1
32
43
…
摇篮曲 歌词n+1n =1+1
1
!"1+1
2
!
"1+
13!"…1+1n
!"
＜
1n n+11+12+13+ (1)
!"#$n
≤
1n n+n+1
2
!"%&n
=
3n+1
2n
!"n
，即
3n+1
2n
!"
n
＞n+1.
30.已知a ，b ，c 为任意三角形的三边长，求证：a-b 1+ab +b-c 1+bc +c-a 1+ca ＜1
8
too late.
证明：a-b 1+ab +b-c 1+bc +c-a 1+ca =（a -b ）11+ab -11+bc
!"
+
（c -a ）
11+ca
+1bc
!"
=（a-b ）（bc-ab ）（1+ab ）（1+bc ）+（c-a ）（bc-ca ）
一休哥（1+ca ）（1+bc ）
=（a-b ）（c-a ）1+bc b 1+ab -c 1+ca
!"=（a-b ）（b-c ）（c-a ）
（1+ab ）（1+bc ）（1+ca ）
.因为|a-b|<c ，|b-c|<a ，|c-a|<b.所以（1+ab ）（1+bc ）（1+ca ）≥2
ab (
2bc (2ca (=8abc.所以
a-b 1+ab +b-c 1+bc +c-a
1+ca
=（a-b ）（b-c ）（c-a ）（1+ab ）（1+bc ）（1+ca ）=
|a-b||b-c||c-a|
（1+ab ）（1+bc ）（1+ca ）
<
abc （1+ab ）（1+bc ）（1+ca ）≤abc 8abc =1
8
.
A C
B
E D
F P
A
O赵惟依微博
B
E
H
C D
爱呀哎呀我愿意插曲
G
F
31.德国世界杯的32支队伍共分8个小组，每组采用循环赛，即每支球队与同组另外三支球队各比赛一场.一场比赛中，胜者得3分，负者得0分，平局双方各得1分.最后按照总积分，小组前两名出线，进入十六强.同组球队如果积分相同，按照双方比赛的成绩排定名次，互相交锋时胜者名次在前；如果双方战平，按照净胜球的多少排定名次（净胜球数=总进球数-总失球数），净胜球多的球队名次在前；如果净胜球数也相同，则比较双方的总进球数，总进球数多的球队名次在前.那么，一支球队至少获得几分才能保证出线呢？
06世界杯歌曲
（江苏省大丰市草堰镇第一中心小学224114
杨荣平提供）
32.已知实数a ，b ，c 互不相等，且有a+32342b =b+
32342c =c+
32342
a
，求证：|a|，|b|，|c|中至少有一个小于32321.（湖北黄梅县第一中学
355王卫华提供）
33.如右图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，∠DAB 与∠ABC 的平分线相交于点O ，且OA=AB=1，OA ⊥OD .以O 为圆心，OA 长为半径的圆分别交AD 于E ，交DC 于
F 、
G ，交BC 于H.设四边形
ABCD 的面积为S 1，圆O 截四边形ABCD 的面积为S 2，求S 1
S 2的值.
（重庆市梁平县文化镇中学405224
刘昌恒提供）
34.设x ，y ，z 均为实数，且x 2+2y 2+z 2+xy-zx-yz =1，求当z
取最大值时，x 2+26y 2-5z 2+3的值.
（湖南常德师范学校415000张小梅提供）
35.在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，它的内切圆分别与边BC ，CA ，AB 相切于点D ，E ，F.连接AD 与内切圆相交于另一点P ，连接PC ，PE ，
PF ，若PE ∥BC.求证：PC ⊥PF.
（安徽芜湖市城南实验中学
241002
杨晋提供）
36.在两个正数a ，b （a ≠b ）之间插入n 个正数a 1，a 2，…，a n ，使这n+2个正数成等差数列，n ∈N+，求证：a 1a 2…a n
＞ab (!"
n .（安徽省明光市涧溪中学239461盛宏礼提供）
（责任编辑
李闯）
2004400