三角函数——三角比 | |||
课 题 | 任意角三角比 | 三角恒等式 | 解斜三角形 |
考点及考试要求 | 角的概念的推广. 弧度制. 数学探索©版权所有www.delve任意角的三角比. 单位圆中的三角函数线. 同角三角函数的基本关系式. 正弦、余弦的诱导公式. 数学探索©版权所有www.delve两角和与差的正弦、余弦、正切. 王宝强老婆资料二倍角的正弦、余弦、正切. 正弦定理、余弦定理. | ||
教学内容 | |||
任意角三角比 一、知识点梳理: §1.1任意角和弧度制 2.象限角:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。 3.角的集合: 与(0°≤<360°)终边相同的角的集合: 终边在x轴上的角的集合: 终边在y轴上的角的集合: 终边在坐标轴上的角的集合: 终边在y=x轴上的角的集合: 终边在轴上的角的集合: 若角与角的终边关于x轴对称,则角与角的关系: 若角与角的终边关于y轴对称,则与角的关系: 若角与角的终边在一条直线上,则与角的关系: 角与角的终边互相垂直,则与角的关系: 4.角度制:在平面几何里,把周角分成360等分,每一份叫做1度的角,这种用“度”作为单位来度量角的单位制叫做角度制。 5.弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。符号rad表示,读作弧度。用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。 如果一个半径为r的圆的圆心角所对的弧长为l,那么比值就是角的弧度数的绝对值,即: 6. 弧长公式: 扇形面积公式: §1.2任意角的三角比 1. 任意角的三角比:在任意角的终边上任取一点P(异于原点),设P的坐标为,OP= r,则。规定: 。当时,角的终边在y轴上,这时点P的横坐标x等于0,无意义。除此之外,对于确定的角,上述三个三角比值都是唯一确定的。三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P的位置无关。还规定:。 2.三角函数线 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT. 3.三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦) 4. 特殊角的三角比 二、典型例题 【例1】角的终边与的终边关于直线y=x对称,则=___________。(答:) 【例2】若角是第二象限角,则是第_______象限角。(答:一、三) 【例3】已知扇形AOB的周长是6,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积。(答:2) 【例4】已知角的终边经过点P(5,-12),则的值为______。(答:) 【例5】角是第三、四象限角,,则m的取值范围是____________。(答:(-1,)) 【例6】若,试判断的符号(答:负) 【例7】若,则的大小关系为_______________________。(答:) 【例8】若为锐角,则的大小关系为_______________________。(答:) 单位圆:三角形的面积<扇形的面积<直角三角形的面积 【例9】函数的定义域是______________。(答:) 三角恒等式 一、知识点梳理: §1.3同角三角比的关系和诱导公式 1. 同角三角比的关系: 倒数关系:,, 商数关系:, 平方关系:,, 解题思想:(1)平方关系一般为隐含条件,直接运用。注意“1”的代换。 (2)利用直角三角形计算三角比,利用象限确定符号。 (3)如果角的一个三角比和它所在的象限,那么角的其他三角比就可以唯一确定。 (4)如果仅知道角的一个三角比,那么就应根据角的终边的所有可能的情况分别求出其他三角比。 2. 诱导公式: 本质-----把角写成形式, 口诀:奇变偶不变(对而言,指取奇数或偶数),符号看象限(看原函数,同时可把看成是锐角)。 对于任意角的三角比,利用诱导公式总可以转化成锐角的三角比,转化的一般途径是: 。从任意角到锐角的转化途径不是唯一的。 第一组诱导公式: 第二组诱导公式: 第三组诱导公式: 第四组诱导公式: 第五组诱导公式: 第六组诱导公式: 3. 两角和与差的余弦、正弦和正切: 两角差的余弦公式: 两角和的余弦公式: 两角和的正弦公式: 两角差的正弦公式: 两角和的正切公式: 两角差的正切公式: ※, 其中(通常取)由,确定。 4. 二倍角与半角的正弦、余弦和正切: 二倍角的正弦公式: 二倍角的余弦公式: 二倍角的正切公式: 半角的余弦公式: 半角的正弦公式: 半角的正切公式:,, 万能置换公式:,, 二、典型例题: 三角比的化简、计算和证明恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系,注意注意角的一些常用变式,角的变换是三角比变换的核心!其次看三角比名称之间的关系,通常“切化弦”。再次观察代数式的结构特点。基本技巧有: (1)巧变角:已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换。例如:,, ,等等。 【例1】已知,,那么 _____(答:) 【例2】已知,且,,则______(答:) (2)三角比名称互化(切化弦): 【例3】求值(答:1) (3)公式变形使用: 【例4】已知A、B为锐角,且满足,则_____(答:) (4)三角比次数的升降:本质-----倍角公式和半角公式 【例5】若,化简为_____(答:) (5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同): 【例6】求证: (6)常值变换-----主要指“1”的变换: 【例7】已知,求(答:) (7)正余弦“三兄妹”---“,”:知一求二 【例8】若,则= __(答:); 特别提醒:这里 (8)辅助角公式: (其中角所在的象限由a, b的符号确定,角的值由确定)在求最值、化简时起着重要作用。 刘亚仁整容【例9】若方程有实数解,则c的取值范围是___________.(答:[-2,2]) 三、课堂练习: 1.若,则使成立的的取值范围是_______________(答:) 2.已知,,则___________(答:) 3.已知,则______;_______(答:;) 4.已知,则_______(答:B) A、 B、 C、 D、 5.的值为______________(答:) 6.已知,则,若为第二象限角, 则=________。(答:;) 7.命题P:,命题Q:,则P是Q的_________(答:C) A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 8.已知,那么(答:) 9. ______(答:4) 10.已知为锐角,,,,则与的函数关系为______巧变角 (答:) 11.已知,,求(答:)切化弦 12.设中,,,则此三角形是_____________三角形(答:等边)公式变形使用 13.函数的单调递增区间为__________________三角比次数的升降 (答:) 14.化简:(答:)式子结构的转化 15.若,,求的值。(答:)正余弦三兄妹 16.已知 ,试用k表示的值(答:)正余弦三兄妹 17.当函数取得最大值时,的值是______(答:) 辅助角公式 18.如果是奇函数,则= (答:-2) 辅助角公式 19.求值:________(答:32) 辅助角公式 斜三角形 一、知识点梳理: §1.4正弦定理和余弦定理: 三角形面积公式: 正弦定理:(R为的外接圆半径) 余弦定理:,, 解题思想:采用“边”化“角”或“角”化“边”的思想. 二、典型例题: 【例1】在△ABC中,∠A=45°,∠B=60°,a=2,则b等于( ) A. B. C. D.2 解析:选A.应用正弦定理得:=,求得b==. 【例2】在△ABC中,若=,则△ABC是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 解析:选D.∵=,∴=, sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B 即2A=2B或2A+2B=π,即A=B,或A+B=. 【例3】在△ABC中,如果BC=6,AB=4,cosB=,那么AC等于( ) A.6 B.2 C.3 D.4 解析:选A.由余弦定理,得 AC== =6. 【例4】在△ABC中,BC=a,AC=b,a,b是方程x2-2x+2=0的两根,且2cos(A+B)=1,求AB的长. 解:∵A+B+C=π且2cos(A+B)=1, ∴cos(π-C)=,即cosC=-. 又∵a,b是方程x2-2x+2=0的两根, ∴a+b=2,ab=2. ∴AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC =a2+b2-2ab(-) =a2张瑞希主演的电影+b2+ab=(a+b)2-ab =乐府诗江南(2)2-2=10, ∴AB=. 三、课堂练习: 1.在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,若a=2,sincos=,sin Bsin C=cos2,求A、B及b、c. 解:由sincos=,得sinC=, 又C∈(0,π),所以C=或C=. 由sin Bsin C=cos2,得 sin Bsin C=[1-cos(B+C)], 即2sin Bsin C=1-cos(B+C), 即2sin Bsin C+cos(B+C)=1,变形得 cos Bcos C+sin Bsin C=1, 留在我身边中文版即cos(B-C)=1,所以B=C=,B=C=(舍去), A=π-(B+C)=. 由正弦定理==,得 b=c=a=2×=2. 故A=,B=,b=c=2. 2.△ABC中,ab=60,sin B=sin C,△ABC的面积为15,求边b的长. 解:由S=absin C得,15=×60×sin C, ∴sin C=,∴∠C=30°或150°. 又sin B=sin C,故∠B=∠C. 当∠C=30°时,∠B=30°,∠A=120°. 又∵ab=60,=,∴b=2. 当∠C=150°时,∠B=150°(舍去). 故边b的长为2. 3.在△ABC中,BC=,AC=3,sin C=2sin A.(1)求AB的值;(2)求sin(2A-)的值. 解:(1)在△ABC中,由正弦定理=, 得AB=BC=2BC=2. (2)在△ABC中,根据余弦定理,得 cos A==, 于是sin A==. 从而sin 2A=2sin Acos A=, cos 2A=cos2 A-sin2 A=. 所以sin(2A-)=sin 2Acos-cos 2Asin=. 4.在△ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cos Asin B=sinC,确定△ABC的形状. 解:由正弦定理,得=. 由2cos Asin B=sin C,有cosA==. 又根据余弦定理,得 cos A=,所以=, 即c2=b2+c2-a2,所以a=b. 又因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab, 所以(a+b)2-c2=3ab,所以4b2-c2=3b2, 所以b=c,所以a=b=c, 因此△ABC为等边三角形. 【学生总结】: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 马可杀阡陌 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 【教师寄语】: 春天是碧绿的天地,秋天是黄金的世界。愿你用青春的绿去酿造未来富有的金秋! 【数学小笑话】 解 题 数学课上。老师说:“一座殿堂位于山的最高处。通向殿堂的路上有5个平台。平台与平台之间有20级台阶。孩子们若要到达殿堂需要登上多少级台阶呢?” “要登上所有的!”小卡洛尔赶忙回答。 | |||
三角函数之三角比总结(全)
本文发布于:2024-10-24 11:21:03,感谢您对本站的认可!
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