三角函数——三角比
课    题
任意角三角比
三角恒等式
解斜三角形
考点及考试要求
角的概念的推广．
弧度制．
数学探索©版权所有www.delve任意角的三角比．
单位圆中的三角函数线．
同角三角函数的基本关系式.
正弦、余弦的诱导公式．
数学探索©版权所有www.delve两角和与差的正弦、余弦、正切．
王宝强老婆资料二倍角的正弦、余弦、正切．
正弦定理、余弦定理．
教学内容
任意角三角比
一、知识点梳理：
§1.1任意角和弧度制
2.象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
3.角的集合：
与（0°≤＜360°）终边相同的角的集合：
终边在x轴上的角的集合：
终边在y轴上的角的集合：
终边在坐标轴上的角的集合：
终边在y=x轴上的角的集合：
终边在轴上的角的集合：
若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：
若角与角的终边关于y轴对称，则与角的关系：
若角与角的终边在一条直线上，则与角的关系：
角与角的终边互相垂直，则与角的关系：
4．角度制：在平面几何里，把周角分成360等分，每一份叫做1度的角，这种用“度”作为单位来度量角的单位制叫做角度制。
5．弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。符号rad表示，读作弧度。用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。
          如果一个半径为r的圆的圆心角所对的弧长为l，那么比值就是角的弧度数的绝对值，即：
6. 弧长公式：    扇形面积公式：
§1.2任意角的三角比
1. 任意角的三角比：在任意角的终边上任取一点P（异于原点），设P的坐标为，OP= r，则。规定： 。当时，角的终边在y轴上，这时点P的横坐标x等于0，无意义。除此之外，对于确定的角，上述三个三角比值都是唯一确定的。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。还规定：。
2．三角函数线
正弦线：MP;  余弦线：OM;    正切线： AT.
3．三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）
4. 特殊角的三角比
二、典型例题
【例1】角的终边与的终边关于直线y=x对称，则=___________。（答：）
【例2】若角是第二象限角，则是第_______象限角。（答：一、三）
【例3】已知扇形AOB的周长是6，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：2）
【例4】已知角的终边经过点P(5，－12)，则的值为______。（答：）
【例5】角是第三、四象限角，，则m的取值范围是____________。（答：（－1，））
【例6】若，试判断的符号（答：负） 
【例7】若，则的大小关系为_______________________。(答：)
【例8】若为锐角，则的大小关系为_______________________。（答：）
单位圆：三角形的面积<扇形的面积<直角三角形的面积
【例9】函数的定义域是______________。（答：）
三角恒等式
一、知识点梳理：
§1.3同角三角比的关系和诱导公式
1. 同角三角比的关系：
倒数关系：，，
商数关系：，
平方关系：，，
解题思想：（1）平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换。
（2）利用直角三角形计算三角比，利用象限确定符号。
        （3）如果角的一个三角比和它所在的象限，那么角的其他三角比就可以唯一确定。
        （4）如果仅知道角的一个三角比，那么就应根据角的终边的所有可能的情况分别求出其他三角比。
2. 诱导公式：
本质-----把角写成形式，
口诀：奇变偶不变（对而言，指取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）。
对于任意角的三角比，利用诱导公式总可以转化成锐角的三角比，转化的一般途径是：
。从任意角到锐角的转化途径不是唯一的。
  第一组诱导公式：    第二组诱导公式：
  第三组诱导公式：      第四组诱导公式：
  第五组诱导公式：        第六组诱导公式：
3. 两角和与差的余弦、正弦和正切：
两角差的余弦公式：
两角和的余弦公式：
两角和的正弦公式：
两角差的正弦公式：
两角和的正切公式：
两角差的正切公式：
※，
其中（通常取）由，确定。
4. 二倍角与半角的正弦、余弦和正切：
  二倍角的正弦公式：
二倍角的余弦公式：
二倍角的正切公式：
半角的余弦公式：
半角的正弦公式：
半角的正切公式：，，
万能置换公式：，，
二、典型例题：
    三角比的化简、计算和证明恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意注意角的一些常用变式，角的变换是三角比变换的核心！其次看三角比名称之间的关系，通常“切化弦”。再次观察代数式的结构特点。基本技巧有：
（1）巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换。例如：，， ，等等。
【例1】已知，，那么 _____（答：）
【例2】已知，且，，则______（答：）
（2）三角比名称互化（切化弦）：
【例3】求值（答：1）
（3）公式变形使用：
【例4】已知A、B为锐角，且满足，则_____（答：）
（4）三角比次数的升降：本质-----倍角公式和半角公式
【例5】若，化简为_____（答：）
（5）式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)：
【例6】求证：
（6）常值变换-----主要指“1”的变换：
【例7】已知，求（答：）
（7）正余弦“三兄妹”---“，”：知一求二
【例8】若，则=  __（答：)； 特别提醒：这里
（8）辅助角公式： (其中角所在的象限由a, b的符号确定，角的值由确定)在求最值、化简时起着重要作用。
刘亚仁整容
【例9】若方程有实数解，则c的取值范围是___________.（答：[－2,2]）
三、课堂练习：
1．若，则使成立的的取值范围是_______________（答：）
2．已知，，则___________（答：）
3．已知，则______；_______（答：；）
4．已知，则_______（答：B）
A、  B、  C、  　D、
5．的值为______________（答：）
6．已知，则，若为第二象限角，
则=________。（答：；）
7．命题P：，命题Q：，则P是Q的_________（答：C）
A、充要条件  B、充分不必要条件  　C、必要不充分条件　D、既不充分也不必要条件
8．已知，那么（答：）
9． ______（答：4）
10．已知为锐角，,，，则与的函数关系为______巧变角
（答：） 
11．已知，，求（答：）切化弦
12．设中，，，则此三角形是_____________三角形（答：等边）公式变形使用 
13．函数的单调递增区间为__________________三角比次数的升降
（答：） 
14．化简：（答：）式子结构的转化
15．若，，求的值。（答：）正余弦三兄妹
16．已知 ，试用k表示的值（答：）正余弦三兄妹
17．当函数取得最大值时，的值是______(答：) 辅助角公式
18．如果是奇函数，则=    (答：－2) 辅助角公式
19．求值：________(答：32) 辅助角公式
斜三角形
一、知识点梳理：
§1.4正弦定理和余弦定理：
    三角形面积公式：
    正弦定理：（R为的外接圆半径）
    余弦定理：，，
解题思想：采用“边”化“角”或“角”化“边”的思想．
二、典型例题：
【例1】在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于(  )
A.      B.          C.            D．2
解析：选A.应用正弦定理得：＝，求得b＝＝.
【例2】在△ABC中，若＝，则△ABC是(  )
A．等腰三角形  B．等边三角形  C．直角三角形  D．等腰三角形或直角三角形
解析：选D.∵＝，∴＝，
sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B
即2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝.
【例3】在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cosB＝，那么AC等于(  )
A．6    B．2    C．3    D．4
解析：选A.由余弦定理，得
AC＝＝ ＝6.
【例4】在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1，求AB的长．
解：∵A＋B＋C＝π且2cos(A＋B)＝1，
∴cos(π－C)＝，即cosC＝－.
又∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，
∴a＋b＝2，ab＝2.
∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC
＝a2＋b2－2ab(－)
＝a2张瑞希主演的电影＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab
＝乐府诗江南(2)2－2＝10，
∴AB＝.
三、课堂练习：
1．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝2，sincos＝，sin Bsin C＝cos2，求A、B及b、c.
解：由sincos＝，得sinC＝，
又C∈(0，π)，所以C＝或C＝.
由sin Bsin C＝cos2，得
sin Bsin C＝[1－cos(B＋C)]，
即2sin Bsin C＝1－cos(B＋C)，
即2sin Bsin C＋cos(B＋C)＝1，变形得
cos Bcos C＋sin Bsin C＝1，
留在我身边中文版即cos(B－C)＝1，所以B＝C＝，B＝C＝(舍去)，
A＝π－(B＋C)＝.
由正弦定理＝＝，得
b＝c＝a＝2×＝2.
故A＝，B＝，b＝c＝2.
2．△ABC中，ab＝60，sin B＝sin C，△ABC的面积为15，求边b的长．
解：由S＝absin C得，15＝×60×sin C，
∴sin C＝，∴∠C＝30°或150°.
又sin B＝sin C，故∠B＝∠C.
当∠C＝30°时，∠B＝30°，∠A＝120°.
又∵ab＝60，＝，∴b＝2.
当∠C＝150°时，∠B＝150°(舍去)．
故边b的长为2.
3．在△ABC中，BC＝，AC＝3，sin C＝2sin A.(1)求AB的值；(2)求sin(2A－)的值．
解：(1)在△ABC中，由正弦定理＝，
得AB＝BC＝2BC＝2.
(2)在△ABC中，根据余弦定理，得
cos A＝＝，
于是sin A＝＝.
从而sin 2A＝2sin Acos A＝，
cos 2A＝cos2 A－sin2 A＝.
所以sin(2A－)＝sin 2Acos－cos 2Asin＝.
4．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos Asin B＝sinC，确定△ABC的形状．
解：由正弦定理，得＝.
由2cos Asin B＝sin C，有cosA＝＝.
又根据余弦定理，得
cos A＝，所以＝，
即c2＝b2＋c2－a2，所以a＝b.
又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
所以(a＋b)2－c2＝3ab，所以4b2－c2＝3b2，
所以b＝c，所以a＝b＝c，
因此△ABC为等边三角形．
【学生总结】：
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 马可杀阡陌
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
【教师寄语】：
春天是碧绿的天地，秋天是黄金的世界。愿你用青春的绿去酿造未来富有的金秋!
【数学小笑话】
解  题
  数学课上。老师说：“一座殿堂位于山的最高处。通向殿堂的路上有5个平台。平台与平台之间有20级台阶。孩子们若要到达殿堂需要登上多少级台阶呢？” “要登上所有的！”小卡洛尔赶忙回答。