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第8讲——牛吃草问题
教学内容
               
    有这样一类问题，例如“牧场上有一片牧草，这些牧草每天都均匀生长.这片牧场可供15头牛吃20天，或可供20头牛吃10天，新生草量可供几头牛吃1天？”，类似的问题成为“牛吃草”问题.解决这类问题我们通常假设1头牛一天的吃草量为“1”.牛在一定时间（天、周）内所食的草量包含两类：一定规模的牧场原有的草量；一定时段内新生的草量.
    解决这类问题的思维模式及数量关系常可应用到相似生活中某种场合下所发生的问题中去.例如合理开放火车站检票口问题；合理调度运输车辆运送仓库货物问题；甚至预测地球固有资源的消耗速度及人口消耗地球资源速度而必须控制人口的增长等问题.
【例1】有一个牧场，牧场上的牧草每天都在匀速生长.这片牧场可供15头牛吃20天，或可供20头牛吃10天.那么，这片牧场每天新生的草量可供几头牛吃1天？
分析与解 解决这类问题的关键是利用牛吃草的草量，最终求出这片牧场每天新生长的草量.由于这类问题一百年不给出草量的单位.为此，我们可以设.于是15头牛20天所食的草量为，   
300单位的草量包含这片牧场原有的草量加上20天内这片牧场新生长的草量.而20头牛吃10天所食的草量为，     
200单位的草量包含这片牧场原有的草量加上10天内这片内这片牧场新生长的草量.
由 -，得，这意味着20天新生长的草量与10天新生长草量只差（因为这片牧场原有的草量是固定的）是100（单位1）.
所以牧场每天新生长的草量为，由单位1的意义可知，一天新生长的草量可供10头牛吃1天.
为了方便，草量“单位1”三字经常省略.如10意味着10个单位的草量，它既表示10头牛吃1天的草量，也表示1头牛吃10天的草量.
随堂练习1
牧场上长满了牧草，可供27头牛吃6周，或可供23头牛吃9周.如果牧草每周均匀地生长，问原有草量可供几头牛吃1周？
【例2】牧场上一片牧草，可供24头牛吃6周，或者供18头牛吃10周，假定草的生长速度不变.那么可供19头牛吃几周？
分析与解 设1头牛每周吃草量为1.则每周新生长草量为，从而原有草量为
设19头牛吃完这片牧草用时周，则有即   
随堂练习2
某牧场长满了草，若用17人去割，30天可割尽；若用19人去割，则只要24天便割尽.假设草每天匀速生长，每人每天割草量相同.问49人几天可割尽？
【例3】一块草地，每天生长的速度相同，现在这片牧草可供16头牛吃20天，或供80只羊吃12天.如果一头牛一天吃的草量等于4只羊一天吃草量，那么10头牛和60只羊一起吃，可以吃多少天？
分析与解 因为一头牛吃草量等于4只羊吃草量，所以80只羊吃草量等于20头牛吃草量，60只羊吃草量等于15头牛吃草量.
设一头牛一天吃草量为1，那么，这块草地一天新生长的草量为.
原有的草量为 那么
可以吃 ，即10头牛60只羊一起可吃8天.
随堂练习3
一片牧场，草每天生长的速度相同，现在，这片牧草可供20头牛吃12天，或可供60只羊吃24天.如果1头牛每天吃草量等于4只羊每天吃草量，那么，12头牛与88只羊一起可以吃多少天？
【例4】由于天气渐冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少.经计算，现有牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天.那么，11头牛可吃几天？
分析与解 这里的管事是要求出牧草每天减少的量.设1头牛每天吃草量为1.则牧场每天草的减少量为
从而牧场上原有的草的量为可供11头牛吃
随堂练习4
由于天气渐冷，牧场上的草每天以固定速度减少.已知牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供12头牛吃7天，那么可供6头牛吃几天？
【例5】假设旅客在检票进站前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多.若同时开4个检票口，从开始检票到等候检票的队伍消失，需30分钟；同时开5个检票口，20分钟后队伍消失.如果同时打开7个检票口.那么需要多少分钟队伍就消失？
分析与解 此题应用“牛吃草”的方式来处理则可有以下对应关系：1个检票口——1头牛；检票前已排队的人数——草场原有的总草量；检票口的数量——牛的头数；从开始检票到排队消失所用的时间（这里是“分钟”）——牛吃完草场上的草所需要的时间.由此，我们设1个检票口1分钟检票的人数为1（单位1）（相当于1头牛1天吃的草量），由上述题意，每分钟新来的旅客量为检票开始前排队的人数为这样，同时打开7个检票口检完票所需时间为
随堂练习5
某火车站的检票口在开始检票前已有945名旅客排队等待检票.此时，每分钟还有固定的若干人前来进口处准备进站.如果开放4个检票口，15分钟可放完旅客；如果开放8个检票口，7分钟可以放完旅客.照此放人的速度，现要想在5分钟内放完所有旅客，需要开放几个检票口？
【例6】公司里有一台售货机为员工提供饮料，每天有专人负责补充饮料，且每天补充饮料的数量是相同的.如果公司有5个员工，那么30天后自动售货机内的饮料正好售完；如果公司有6个员工，那么20天后自动售货机内的饮料正好售完.已知每个员工每天买的饮料数量是相同的，如果4个员工买了30天后，新招入了2个员工，那么所有的饮料几天后售完？
分析与解 假设每个员工需要饮料数量为一份，根据公司有5个员工，那么30天后自动售货机内的饮料正好售完；公司有6个员工，20天后自动售货机内的饮料正好售完.由此可得两次的饮料之差，应用“牛吃草”的计算方法，可求出每天增加的饮料和原来饮料的数量.这时根据题意可设所有饮料天售完，列方程解答.
每天增加：
原来有：
设所有饮料天售完，则
                                     
牧场上我的家                                       
                                           
                                             
                                                因此，所有的饮料40天后可售完.
随堂练习6
仓库里有一批存货，以后不断有车运货金仓，且每天运进的货一样多，用同样的货车运货出仓.若每天用4辆车，则9天恰好运完；若每天用5辆货车，则6天恰好运完.仓库里原有的货若用一辆货车运，则需要多少天运完？
想一想
平均分配
如图1是16个盛有不同水量的杯子（用○表示）.圆的数字表示该杯中的水量.摆成4行4列的正方形形状.箭头上的数所指的行、列、对角上4个杯中水量的总和，现在这10个总和不完全相等.请你只动一只杯子，将其中的水（部分或全部）适当分配到某几个杯中，使箭头上的10个总量全部相等.
               
解答 每行、每列及对角线上4个杯中水的总量是10.
如图2，将盛有水量为5的杯中水如箭头所示分配到3个杯中，即可使每行、每列及对角线上的4个杯中水的总量都变成10，如图3所示.
1. 有一片牧草，草每天匀速地生长.这片牧草可供100头牛吃3周，可供50头牛吃8周.那么可供多少头牛吃两周？
2. 一个牧场，草每天匀速地生长，每头牛每天吃草量相同.17头牛30天可将草吃完，19头牛只需24天就可将草吃完.现有一牛，吃了6天后，卖掉4头牛，余下的再吃2天就可将草吃完.问没有卖掉4头牛前，这一牛共有多少头？
3. 一片牧草可供9头牛吃12天，也可供8头牛吃16天.开始只有4头牛吃，从第7天起又增加了若干头牛来吃草，再吃6天吃完了所有的草.问从第7天起增加了多少头牛？（草每天匀速增长，每头牛每天吃草量相等）
4. 有一片草地，可供8只羊吃20天，或供14只羊吃10天.假设草每天的生长速度不变，现有羊若干只，吃了4天后又增加了6只，这样又吃了2天，便将草吃完.问原有羊多少只？
5. 11头牛10天可以吃完5公亩牧场上的全部牧草，12头牛14天可以吃完6公亩牧场上的全部牧草，问19头牛几天可以吃完8公亩牧场上的全部牧草？（每公亩牧场上每天生长草量相等）
6. 某火车站的检票口，在检票开始前已经有一些人排队，检票开始后，每分钟15人前来排队检票，一个检票口每分钟能让30个人检票进站.如果只有一个检票口，检票开始6分钟就没有人排队，如果两个检票口，那么检票开始后几分钟就没有人排队？
7. 画展9点钟开门，但早就有人排队入场.从第一个观众来时起，每分钟来的观众人数一样多.如果开3个入场口，则9分钟后，就不再有人排队；如果开5个入场口，则5分钟后就不再有人排队.那么第1个观众到达时间是几点几分呢？
8. 某火车站的检票口，在检票前已有一些人排队，检票开始后每分钟有10人前来排队检票.一个检票口每分钟能让25人检票进站.如果只有一个检票口，检票开始8分钟后就没有人排队；如果两个检票口，那么检票开始多少分钟就没有人排队？
9. 某足球赛检票前几分钟就有观众开始排队，每分钟来的观众人数一样多，从开始检票到等候入场的队伍消失，若同时开4个入场口需50分钟，若同时开6个入场口则需30分钟.如果要使队伍25分钟消失，那么需同时开几个入场口？
10. 由于打字员的辞职，一个公司剩下一批需要打字的材料，而且每天还要新增加固定数量需要打字的材料.假设材料以页计数，每个打字员的打字速度是相同的，固定的（单位可以是）.若公司聘用5名打字员，24天就恰好打完所有材料；若公司聘用9名打字员，12天就恰好打完所有材料.现在公司聘用了若干打字员，工作8天之后，由于业务减少，每天新增的需要打字的材料少了一半，结果这些打字员用40天才恰好完成打字工作.问公司聘用了多少名打字员？
11. 一个水池装有一根进水管和若干根同样的出水管（进水管和出水管不同），先打开进水管等水池有了一些水后，再打开出水管.如果打开一个出水管，12分钟后水池空；如果同时打开2个出水管，4分钟后水池空.那么，出水管比进水管晚开几分钟？（每根进水管和出水管每分钟进水量相同）
12. 商场自动扶梯匀速由上往下移动，两个顽皮的孩子在移动的扶梯上走动，男孩每秒钟向上走2级；女孩2秒钟向上走3级.如果男孩用100秒到达楼上，女孩用200秒到达楼上.问该楼层扶梯共有多少级？
13. 哥哥沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，共走了100级，相同时间内，妹妹沿着自动扶梯从底向上走到顶，共走了50级.若哥哥单位时间内走的级数是妹妹的2倍，那么当自动扶梯静止时，自动扶梯能看到的有多少级？