19立体几何中的轨迹问题
【题型一】由动点保持平行性求轨迹
【典例分析】
如图，在边长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、N 分别是CC 1、C 1D 1、DD 1、CD 、BC 的中点，M 在四边形EFGH 边上及其内部运动，若MN ∥面A 1BD ，则点M 轨迹的长度是（  ）
A
B  C  D
【提分秘籍】
基本规律
1.线面平行转化为面面平行得轨迹
2.平行时可利用法向量垂直关系求轨迹
【变式演练】
1.在三棱台111A B C ABC −中，点D 在11A B 上，且1//AA BD ，点M 是三角形111A B C 内（含边界）的一个动点，且有平面//BDM 平面11A ACC ，则动点M 的轨迹是（    ）
A ．三角形111A
B
C 边界的一部分 B ．一个点
C ．线段的一部分
D ．圆的一部分
2.已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，E 、F 分别是棱1AA 、11A D 的中点，点P 为底面ABCD 内（包括边界）的一动点，若直线1D P 与平面BEF 无公共点，则点P 的轨迹长度为（    ）
A 1
B
C D
3.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，点E ，F 分别是棱11C D ，11B C 的中点，P 是上底面1111D C B A 内一点（含边界），若//AP 平面BDEF ，则Р点的轨迹长为（    ）
A ．1
B
C ．2
D ．
【题型二】动点保持垂直性求轨迹
【典例分析】
在正方体1111ABCD A B C D −中，Q 是正方形11B BCC 内的动点，11A Q BC ⊥，则Q 点的轨迹是（    ）
A ．点1
B  B ．线段1B
C  C ．线段11B C
D ．平面11B BCC
【提分秘籍】
基本规律
1.可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹
2.利用空间坐标运算求轨迹
邓丽君下载3.利用垂直关系转化为平行关系求轨迹
【变式演练】
1.在正方体1111ABCD A B C D −中，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，且保持1AP BD ⊥，则动点P 的轨迹为 A ．线段1CB
B ．线段1B
C  C ．1BB 的中点与1CC 的中点连成的线段
D ．BC 的中点与11B C 的中点连成的线段
2.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，M ，N 分别为1BD ，11B C 的中点，点P 在正方体的表面上运动，且满足MP CN ⊥．给出下列说法：
①点P 可以是棱1BB 的中点；
②线段MP 的最大值为34
； ③点P 的轨迹是正方形；
④点P 轨迹的长度为2
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其中所有正确说法的序号是________．
3.如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，则下列说法不正确的是（    ）
A ．1A F 与1D E 不可能平行
B ．1A F 与BE 是异面直线
C ．点F 的轨迹是一条线段
D ．三棱锥1F ABD −的体积为定值
【题型三】由动点保持等距（或者定距）求轨迹
【典例分析】
已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为底面ABCD 内一点，若P 到棱CD ，A 1D 1距离相等的点，则点P 的轨迹是（    ）
A ．直线
B ．椭圆
C ．抛物线
D ．双曲线
【提分秘籍】
基本规律
1.距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹
2.利用空间坐标计算求轨迹
【变式演练】
1.如图，在四棱锥P ABCD −中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为正方形ABCD 内（包括边界）的一个动点，且满足MP MC =．则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（    ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2.如图，在棱长为4的正方体ABCD A B C D ''''−中，E 、F 分别是AD 、A D ''的中点，长为2的线段MN 的一个端点M 在线段EF 上运动，另一个端点N 在底面A B C D ''''上运动，则线段MN 的中点P 的轨迹（曲面）与正方体（各个面）所围成的几何体的体积为（    ）
A ．
43π B ．23π C ．6π D ．3
π  3.四棱锥P ﹣OABC 中，底面OABC 是正方形，OP ⊥OA ，OA ＝OP ＝a ．D 是棱OP 上的一动点，E 是正方形OABC 内一动点，DE 的中点为Q ，当DE ＝a 时，Q 的轨迹是球面的一部分，其表面积为3π，则a 的值是（    ）
A ．
B ．
C ．
D ．6
【题型四】由动点保持等角（或定角）求轨迹
【典例分析】
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正方体1111ABCD A B C D −中，M ，N 分别为AB ，11A B 的中点，P 是边11C D 上的一个点（包括端点），Q 是平面1PMB 上一动点，满足直线MN  与直线AN  夹角与直线MN 与直线NQ  的夹角相等，则点Q 所在轨迹为（    ）
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．抛物线或双曲线
【提分秘籍】
基本规律
1. 直线与面成定角，可能是圆锥侧面。
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2. 直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面
3. 利用空间坐标系计算求轨迹
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1.如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60︒，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30PAB ∠=︒，则点P 的轨迹是（    ）
A ．直线
B ．抛物线
C ．椭圆
D ．双曲线的一支
2.如图所示，1111ABCD A B C D −为长方体，且AB =BC =2，1AA =4，点P 为平面1111A B C D 上一动点，若11PBC BC C ∠=∠，则P 点的轨迹为（    ）
A ．抛物线
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．圆
3.在长方体1111ABCD A B C D −中，6AB AD ==，12AA =，M 为棱BC 的中点，动点P 满足APD CPM ∠=∠，则点P 的轨迹与长方体的侧面11DCC D 的交线长等于___________.
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【题型五】 投影求轨迹
【典例分析】
1822年，比利时数学家 Dandelin 利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占1A 正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得1AA 与小球相切．若15A A =，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（    ）
A ．
23 B ．45 C ．13 D ．25
【提分秘籍】
基本规律
1. 球的非正投影，可能是椭圆面
2. 多面体的投影，多为多边形。
【变式演练】
1.如图，已知水平地面上有一半径为3的球，球心为O '，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C ．如图，椭圆中心为O ，球与地面的接触点为E ，4OE =．若光线与地面所成角为θ，椭圆的离心率e =__________．
【题型六】翻折与动点求轨迹（难点）
【典例分析】
如图，将四边形ABCD 中，ADC 沿着AC 翻折到1AD C ，则翻折过程中线段DB 中点M 的轨迹是（    ）
A ．椭圆的一段
B ．抛物线的一段
C ．双曲线的一段
D ．一段圆弧
【提分秘籍】
基本规律
1.翻折过程中寻不变的垂直的关系求轨迹
2.翻折过程中寻不变的长度关系求轨迹
3.可以利用空间坐标运算求轨迹
【变式演练】
1.已知△ABC 的边长都为2，在边AB 上任取一点D ，沿CD 将△BCD 折起，使平面BCD ⊥平面AC D ．在平面BCD 内过点B 作BP ⊥平面ACD ，垂足为P ，那么随着点D 的变化，点P 的轨迹长度为（    ）
A ．6π
B ．3
π C ．23π D ．π
2.如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB =，1AD BC ==，AB CD >，沿着AC 把ACD △折起至1ACD △，使1D 在平面ABC 上的射影恰好落在AB 上．当边长CD 变化时，点1D 的轨迹长度为（    ）
A ．2π
B ．3π
C ．4π
D ．6π