首先，“独”字用来形容诗人登上幽州台时的心情，表达了一种孤独、寂寞的感觉。诗的开头就是“白日依山尽，黄河入海流。欲穷千里目，更上一层楼。”在这句中，诗人的心境和意志被“独”字所凸显。他一人站在高楼之上，俯瞰着千里的美景，同时又感叹自己的眼力无法越过这座关山。这种心境，表达出了诗人内在的孤独和渴望。
其次，“独”字在描述幽州台的独特之处时，表达出了一种壮美无比的气魄。在诗的第二、三句中，诗人通过运用“独”字的对比手法，突出了幽州台的高峻和宏伟。“独抒幽怀”，指的是诗人在高台上独自发出自己的思念；“登斯楼”，诗人以“斯楼”来形容幽州台，意思是此楼非凡之楼。通过对比，使幽州台更加显得独特而壮丽。
第三，“独”字还用来形容诗人的身世和命运，给整首诗增添了一种哀愁与悲凉。例如诗中的“
亘古的思念宇宙洪荒”，以及“市朝霞”,“亘古皆孤负之”，这些词句无一不体现出了诗人身世的沧桑和悲凉。“亘古皆孤负之”既表达了诗人对身世的无奈，又表达了对祖国历史的怀念之情。
最后，在整首诗的结尾，诗人再次用“独”字来表达他对祖国的思念之情。“更上一层楼”，这里的“更”字和“独”字形成鲜明的对比，“独”为孤独，而“更”为进一步。诗人在回忆往事的同时，表达了进一步追求和进步的决心，对祖国的思念与回忆更加浓烈。
总之，杜甫在《登幽州台歌》中运用了多次“独”字，突出了诗人的孤独与寂寞，以及幽州台的宏伟与壮丽，同时也表达了对祖国的深深思念。这些表达方式使整首诗更加生动鲜活，也更加贴切地表达了诗人的心情和思想。
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