高一使用3031年4月
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■张文伟
题型1：角的概念
(2)转化法，先将已知角化为k X360°+a (0°C a V360°k e Z)的形式，即出与已知角终边相同的角a，再由角a终边所在的象限判断已知角是第几象限角。利用终边相同的角的集合S=,,=2k n+a,e Z｝判断一个角，所在的象限时，只需把这个角写成[0,2n)范围内的一个角a与2n的整数倍的和，然后判断角a所在的象限。
例1在一720°〜0°范围内所有与45°终边相同的角为。
解：所有与45°终边相同的角可表示为,=45°+k X360°(k e Z)。令一720°C45°+ k X360°V0°(k e Z)，可得一765°C k X360°V
7(^5°A50—45°(-e z)，解得一76n oC-v—4°(-e
360360
Z)，即一2.125C k V0.125(k e z)，可知k=—2或k=—1，代入可得,=一675°或,=—315°。答案为一675°或一315°。
跟踪训练1若a=k X360°+3,=m X 360°—3-m e Z)，则角a与角，的终边的位置关系是))O
A.重合
B.关于原点对称
C.关于x轴对称
D.关于y轴对称
提示：由题意知角a与角3的终边相同，角，与角一3的终边相同。因为角3与角一3的终边关于x轴对称，
所以角a与角，的终边关于x轴对称。应选C。
题型2：弧度制及应用
弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略：1)明确弧度制下弧长及扇形面积公式，要注意角的单位必须是弧度；(2)灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或利用圆心角所在的三角形列方程求解。
例2一扇形是从一个圆中剪下的一部
2
分，半径等于圆半径的3，面积等于圆面积的
5
历，则扇形的弧长与圆周长之比为_____。
解：设圆的半径为r，则扇形的半径为
1(2r\2 2厂2a X(3)
牙。记扇形的圆心角为a，则-------= 3n r2
55穴
历，所以a=T，所以扇形的弧长与圆周长之5n X2
跟踪训练2：分别以边长为1的正方形ABCD的顶点B,C为圆心，为半径作圆弧ACBD，两弧交于点E，则曲边三角形ABE 的周长为。
提示：因为两圆弧所在圆的半径都是1，正方形边长也是1，所以“BCE为正三角形，所以X EBC=X ECB=n，X EBA
3=6O由此可得弧be的长为1F X1=3，弧ae的长为6X1=6，所以曲边三角形
abe的周长是1+n+n=1+n。
362
题型3：判断三角函数值的符号
三角函数值(sin a,cos a,tan a)在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦。
例3若sin at.an a VO，且c
°s a V0，则角
tan a
a是))
A.第一象限角
C.第三象限角
B.第二象限角
ID第四象限角
高一使用 2021年4月
解：由 sin a t.an a V0 ，可知 sin a , an a 异 号，则a 为第二象限角或第三象限角。由
一 V0 ，可知cos a , an a 异号，则a 为第三 an a
象限角或第四象限角。综上可知a 为第三
象限角。应选C 。
跟踪训练 3：设 a = sin 33° b — cos 55°c = t.an 3 5° 则（
）。
A.c >b >a
B.b > c >a
C.a >b >c
D.c >a >b
提示：由 b = cos 55° = sin 35°>sin 33° =
a ?c = t.an 35°>sin 35° =
b ，可得
c >b >a 。应
选A 。
题型4：三角函数的定义陈建州身高
三角函数定义的解题策略：1）已知角a
终边上一点P 的坐标，可先求出点P 到原点
的距离r ，然后利用三角函数的定义求解；
（2）已知角a 的终边所在的直线方程，可先设
出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距 离，然后利用三角函数的定义求解；（3）已知
角a 的某三角函数值，求角a 终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量
列方程求参数的值；4）已知角a 的终边所在 的直线方程，根据三角函数的定义可求角a孙燕资
终边上某特定点的坐标。
例4 已知角a 的顶点为坐标原点，始
边为x 轴的正半轴。若角a 的终边经过点
以cos p
(3，-A. -
4 \
—），则cos a an a 的值是（）。
4
5
4B5
3
3c .-
D.—
55
解:
因为角a 的终边经过点
p (
3，--4 )
，所以 cos a = — , an a =—5 5
- 3，所a t.an a
4
4
郭敬明多高啊3 丿
=—5
应选A
3x
跟踪训练4：在平面直角坐标系j^Oy 中，
60°角的终边上一点P 的坐标为（1 ,m ），则实
数m 的值为 。
提示：由60°角的终边上一点P 的坐标 为(1 , m )，可得 an 60° =］。又 an 60° = 3 ,
所以m = 3。
题型5：三角函数的求值
解决三角函数求值问题的关键是熟练掌
握三角函数基本关系式的正用、逆用和变形
应用。含有sin a , cos a 的二次齐次式（如 a sin 2a + b sin a cos a + ccos 2a ）的问题常采用
"切”弋换法求解。这类问题要注意判断角所
在的象限，不要忽视三角函数的取值符号。
例 5 设函数 f （x ） —a sin （ n x + a ） +
b cos （n x +仔），其中aba ，都是非零实数。
若 f （2 019） = —1 ，则 f （2 020）=_____。
解：由 f （2 019）=a sin （2 019n + a ） +
b cos （2 0 1 9n + ,） = 一 a sin a 一 b cos , = 一 1 ,
可得 a sin a + b cos ,= 1，所以 f （2 020 ）=
a sin （2 020n + a ） +
b cos （ 2 020n + ,） = a sin a +b cos , = 1。
跟踪训练5 ：已知sin a cos a =：，且：V
8
4
a V ，则 cos a — sin a 的值为（
）。
提示：因为sin a cos a = 3，所以(cos a —
8
sin a )2 = cos 2a 一 2 sin a cos a + sin 2 a = 1 一
2sin a cos a = 1 一2 X 3 = — o 因为牟V a V
8 4 4cos a V sin a ,
艮卩cos a 一 sin a V 0 ，所
2，所以以 cos a — sin a =——。应选 D 。
题型6：三角函数的定义域、值域（最值）
求三角函数的定义域就是构造简单的三
角不等式，借助三角函数线或三角函数的图
像来求解的。三角函数的值域（最值）的四种
求法：（1）形如y =a sin x +b cos x + k 的三角 函数，先化为y = A sin （ox + p ） + k 的形式，
再确定ox +p 的范围，最后根据正弦函数的
单调性求值域（最值）；（2）形如y = a sin 2x +
b sin x +k 的三角函数，先设sin x =t ，再化为
关于t 的二次函数求值域（最值）（3）形如 y = a sin x cos x + b （sin x 士 cos x ） + c 的三
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角函数，先设£ = sin x 士 cos x ，再化为关于t
的二次函数求值域（最值）。
whitelies例 6 若 x e ［0,2n ］，则 y =詔an x +
—cos x 的定义域为）
）
A
［o,； ）
B （ ；'n
）
c . D . （22n,n
］
an x Ao ,
解：方法1）由题意可得< —cos x AO ，由
—e QO ,2n ］,
此解得函数的定义域为［^2）
。应选c 。
（方法2）当x = n 时，此函数有意义，排
5 7T
除A,D 。当x = 5时，此函数有意义，排除
应选C 。
跟踪训练6：函数f(x ) = sin x — cos x +
sin x cos x 的值域为 。
提示：设 t = sin x 一 cos x ，贝U t 2 = sin 2 x +> 1 ——t
2
cos 2
x 一 2 sin x cos x ，艮卩 sin x cos x =—-—，且
t 2
1
—2 C t C 2，所以 y = — 2 + t + 1
一 [C — 1)2+1。当 t = 1 时,y max = 1 ；当 £
—2 时，y min = — 2— 1
at + 1
故所求函数的值域为［—2— 2，1
］
-2
(,+4) +8+1,e (2，)
题型7：利用三角函数的单调性求参数
因为f （x ）在（才，2）
上单调递增，所以已知单调区间求参数的三种方法：（1）子
集法，求出原函数的相应单调区间，由已知区 间是 所求某 区间的 子集，列不等 式求解;
（2）反子集法，由所给区间求出整体角的范
围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单 调区间的子集，列不等式求解;（3）周期性法,
由所给区间的两个端点到其相应对称中心的
距离不超过4周期，列不等式求解。
例7 若函数f （x ） = sin 9x （9>0）在区
间
［°'3］上单调递增，在区间［3'2］上单
调递减，则9等于）
再见你好吗）
C.2
D.3
解：方法 1）函数 f （x ）=sin 9x （9〉0）
的图像过原点，当0C 9x C n ，即oC x C ：
2 29
时，y = sin 9x 是增函数；当2C 9x C3n ，即 n C x C 3时，y = sin 9x 是减函数。由函
29 29
数 f (x ) = sin 9x ( 9 > 0 )在［o,3 ］上单调递
增，在［3,2 ］
上单调递减知— = 3，所以
3
9 = 3 o 应选
（方法2）由题意知函数在x =3处取得
最大值，艮卩§ =2k n +
?-e Z ，也即9 =
3 3
6k + 3 o 又 9>0 ，故 9=2。应选 B3。
跟踪训练7 ：若函数f ( x ) = cos 2x +
a cos （ 2 + x ）在区间（「2 ）
上是增函数，则
实数a 的取值范围为 。
提示：由 f （x ） = 1 一 2 sin 2 x 一 a sin x ，令 sin x = t ,e （ 2 ,1）
，可得 g () = — 2t
—彳A1 ，可得a C — 4，即实数a e ） — x,—4］
题型8：三角函数的奇偶性
若y = A sin （9x + p ）为偶函数，则p = k n+ ； (k e Z )；若 y = A sin(9x + p )为奇函 数，贝」p = k n(-e Z )。若 y = A cos ( 9x + p ) 为偶函数，贝U p = k n(k e Z )；若y =
A cos(9x + p )为奇函数，则p = k n + 2 (-e
Z )；若 y = A an(9x + p )为奇函数，贝U p = k n (-e Z )。
例 8
x -4
)
函数 y = 1 一2sin 2
是）)o
高一使用2021年4月丁于生豕'王
3n\ 2丿A.最小正周期为n的奇函数
B.最小正周期为n的偶函数
C最小正周期为n的奇函数
d.最小正周期为2的偶函数
解：由y=1—2sin2cos I2x一cos—sin2x，可知此函数
是最小正周期为n的奇函数。应选A
跟踪训练8：已知函数f(x)= 3sin(2x—3+p),p G(0,n)，满足f(x)= f(x)，则p的值为。
提示：因为f(|x|)=f(x)，所以函数f(x)一3sin(23+p)是偶函数，所以—+p=k n+n,k GZ，艮卩p=k n+5,k G
Z。又p G(0,n)，所以p=§。
题型9：三角函数的对称性
求形女如y=A sin(ox+p)或y= A cos(ox+p)的对称轴或对称中心，可把3x+p"看作一个整体，根据三角函数图像的对称轴或对称中心列方程求解。函数
f(x)=A sin(ox+p),g(x)=A cos(ox+ p),x=x r，是对称轴方程f(x0)=士A, g(x0)=士A；(x0,0)是对称中心O f(x0)= 0,g(x Q=0。正(余)弦函数的对称轴是过函数图像的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图像与x轴的交点，即函数的零点；函数y=A sinC ox+p)的对称轴方程为x=—p+,，对称中心为
332o
函数y A cos(ox+p)的对称
轴方程为x=—p，对称中心为
33
p
pp+3,)，函数y A an(.ox+p)的
对称中心为(k—p,)
2o3
，其中k G Z
例9函数y sin(x-4丿的图像的一
(4+k n,0
个对称中心是()。
A.(—n,0)B(-4，)
匚(2，)叫2，)
解：令x—.=-k n,k GZ，可得函数图像的对称中心为,k G Z当k —1时y=sin(^—)的图像的一个对称中心为(—4，)。应选B
跟踪训练
sin(2x—6)—cos
的方程可以是(
9：
2x
函数f(x)
的图像的一条对称轴
)
A.x
n
1-2—
11n
一6
B.x=
-12
2n7n
C.x
3
D.x=
-12
提示：f(x)==sin(2x一n)-cos2x
3.3
2sin2x一一cos2x sin(2x——丿。令
n n“、一/口5n k n 2x—3=2+k n(k GZ)，可得x^^^+?
(k G Z)，当k=1时，可知一条对称轴的方程是x=。应选B
题型10：三角函数的图像变换
三角函数的图像变换，一般都是同名函数之间的变换，无论是先平移后伸缩，还是先伸缩后平移，都是针对自变量而言的。由函数y=sin x的图像通过变换得到y= A sin(ox+p)的图像，有两种主要途径，即"先平移后伸缩"与''先伸缩后平移”。三角函数图像的平移变换规则是''左加右减”，在平移过程中只变换自变量x，如果x的系数不是1，则需把x的系数提取后再确定平移的单位长度和方向。
例10已知函数f(x)—cos(x-6n) (o>0)的最小正周期为n，则函数f(x)的图像()
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A. 可由函数g(x ) = cos2x 的图像向左 平移3个单位长度得到
B. 可由函数g(x ) = cos2x 的图像向右
平移3个单位长度得到
C. 可由函数 g(x ) = cos 2x 的图像向左
平移n 个单位长度得到
6
D. 可由函数g(x ) = cos2x 的图像向右
平移n 个单位长度得到
6
解：由已知可得9 = 2n = 2，则函数
9>0)的解析式的步骤和方法：(1 )求A , 的
值，确定函数的最大值M 和最小值m ，则
M 一 m M + m 亠 ，，，亠 〜亠A = —一 ，= 一2 求9的值，确定
函数的周期T ，则9 =〒;(3)求p 的值，常用 的方法有代入法和五点法，①代入法，把图像 上的一■"已知点代入(此时A,9,b 已知)或 代入图像与直线y =b 的交点求解(此时要注
意交点是在上升区间还是在下降区间)，②五
点法，确定p 值时，可寻“五点法”中的某一
个点为突破口。
例 11 若函数 f ( x ) = sin ( 9x — p )
f (x )=
cos
(2x —t )
的图像可由函数
(p c 2)的部分图像如图1所示，则9和p
g(x )=cos 2x 的图像向右平移：个单位长
6
度得到。应选Do
跟踪训练10：已知函数f ( x )=
sin(9x + p ) (3〉o,|p |v2)的最小正周期
的值是)
n
3为6n，将其图像向右平移3个单位长度后得到函数g ( x )= sin 9x 的图像，贝U p 等 于(
)。A . 9 1 , p
4 n A* 9
B-?
B.9
1 , p
n
3
n D 3
C -9 = 2 p = 6
提示：由题意得
96n ，即9 = 1，所以
1
D.9 = 2，p
n
6
解：由图可知，函数f (x )的周期为4 X
1x + p )
。将其图像向右平移丁
个单位长度后得到的函数图像的解析式为
f (x ) = sin
g (x ) = sin
sn (
1 x
/2n n 2n 1 ,.
(3 + 3 ) = 4n ，所以 9 = 4n = 2 O 将点/2n
(3,1)代入 f ( x ) = sin ( 2 x — p )，并利用
9 + p )
= sin g x ，所以 p — — = 2k n ( k e
p C2，易得 p
n
6
应选D
跟踪训练11：已知函数f ( x )=玄彬退役
Z )，解得 p = 2k n + 3^(k e Z ) O 由 l p V^,
可得p =9。应选B'。
题型11利用三角函数的图像求函数的
解析式
求函数 y = A sin ( 9x + p )+ b ( A > 0 ,
2)
f (x )
A
sin (g x + p ) (a >0,0 V p V2) , y
的部分图像如图2所示 分别为该图像
的最高点和最低点，作PR 丄x 轴于点R ，点
R 的坐标为(10)。若Z PRQ = ?，则
)
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