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摘要
Ｋ。。表示完全二部图，其两个部分点集ｘ和Ｙ分别具有ｍ和ｎ个点。九Ｋ。。表示完全二部多重图，它是由Ｋ。，。的每条边重复＾次而得到的多重图。如果九Ｋ。，。的边集可以划分为九Ｋ。，。的Ｋｌ，ｒ因子，则称九Ｋ。．。存在ＫＩ．ｋ＿因子分解。
九Ｋ。．。的Ｋ１．ｋ＿因子分解的存在性问题在数据库存储技术中有着广泛的应用（见【７］），因此被许多研究者长期研究，并且已有部分结论。当ｋ＝２时，Ｋ。．。的Ｋｌ，２－因子分解存在性问题已被Ｕｓｈｉｏ（［６】）完
全解决。当ｋ是质数Ｐ时，Ｋ。。。的Ｋ１，口＿一因子分解存在性问题已被部分解决。妊论文［１０】中，Ｗａｎｇ研究了Ｋ吐。的Ｋｌ厂因子分解问题，并给出了Ｋ。，。存在Ｋ。，ｐ＿一因子分解的一个充分条件。随后，在将Ｗａｎｇ的结论由质数推广到任意正整数方面又做了许多工作。在论文［３］和［４］中，Ｄｕ将Ｗａｎｇ的结果推广到ｋ为质数幂Ｐ“的情形；在论文［５］中，Ｄｕ又对ｋ是质数积Ｐｑ推广了Ｗａｎｇ的结论。ｐ７
本文将给出上述问题的一个完整解，得出Ｗａｎｇ在论文［１０］中所给出的充分条件对于任意正整数
也是成立的。即我们将证明Ｋ。．。可Ｋｌ，ｋ＿一因子分解的充分条件是（１）ｍ一＜ｋｎ，（２）ｎ一＜ｋｍ，（３）ｋｍ—ｎ＝ｋｎ—ｍ－－＝０（ｍｏｄ（ｋ２－１））和（４）（ｋｒｎ．ｎ）（ｋｎ．ｍ）＝０（ｒｏｏｄｋ（ｋ．１）（ｋ２．１）（ｍ＋ｎ））。
本文同时考虑了腻。．。的Ｋ１．Ｉ广因子分解的问题，对于任意正整数ｋ和九，给出了一个相应的结果。
ｈ／关键词完全二部图，Ｋ１．ｒ因子，Ｋｌｋ＿因子分解。
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Ａｂｓｔｒａｃｔ
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靳东个人资料
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ＷａｎｇＪｉａｎ
我和我的祖国歌词完整ＤｉｒｅｃｔｅｄｂｙＤｕＢｅｉｌｉａｎｇＫｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｏｍｐｌｅｔｅｂｉｐａｒｔｉｔｅｇｒａｐｈ，Ｋｔ，ｋ－ｆａｃｔｏｒ，Ｋ１，ｋ－ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ
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§１引言
Ｋ。．。表示完全二部图，其两个部分点集Ｘ和Ｙ分别具有ｍ和ｎ个点．九Ｋ。。表示完全二部多重图，它是由Ｋ。，。的每条边重复九次而得到的多重图．显然无孤立点的图由它的边集所确定，因此本文中的图将用它的边集来表示．如果ＸＫ。．。的一个子图Ｆ包含了ＺＫ。。的所有点，则称Ｆ为ＺＫ。．。的生成子图．若ＸＫ。．。的生成子图Ｆ的每个分支均同构于Ｋ１．ｋ，则称Ｆ为九Ｋ。．ｎ的一个Ｋｌ，ｒ因子．如果九Ｋ。．。的边集可以划分为九Ｋ。，。的Ｋ－．ｋ＿因子，则称九Ｋ。，。存在Ｋ。．ｋ＿一因子分解．在文献［７］中，ＸＫ。，。的Ｋ，，ｋ一因子分解被定
义为可分解的（ｍ，ｎ，ｋ，九）二部ｓｋ＋１设计．如果九Ｋ。，。存在Ｋｌ，ｒ一因子分解，则称ＺＫ。，。是可Ｋ。．。一因子分解的．本文用到的图论方面的名词术语，均参照图论著作［１］．
ＸＫ。．。的Ｋ１．ｋ＿一因子分解的存在性问题在数据库存储技术中有着广泛的应用（见【７】），因此被许多研究者长期研究．通过简单的计算，我们可得到ＸＫ。。存在Ｋ１．ｒ一因子分解的以下必要条件．
定理１．１如果九Ｋ。，。存在Ｋｌ，ｋ＿一因子分解，则（１）ｍ一＜ｋｎ，（２）１１≤ｌ（Ｉｎ，（３）ｌ（Ｉｎ—ｎ－＝ｋｎ—ｍ＝０（ｍｏｄ（ｋ２－１））和（４）九（１（ｒＩｌ—ｎ）（ｋｎ．ｍ）－－＝０（ｒｏｏｄｋ（ｋ２—１）（ｍ＋ｎ））．
关于Ｋ。．。的Ｋｔ．ｋ－一因子分解的存在性问题已有许多结果．当ｋ＝２
时，Ｋ。．。的Ｋｌ，：一因子分解存在性问题已被完全解决．在论文［６］中，Ｕｓｈｉｏ给出了Ｋ。．。存在Ｋ１，２一因子分解的充分必要条件．
定理１．２（Ｕｓｈｉｏ【６】）Ｋ。，。存在Ｋｌ，２一因子分解的充分必要条件为：（１）ｍ一＜２ｎ，（２）ｎ一＜２ｍ，（３）２ｍ－ｎＥ２ｎ－ｍ；０（ｍｏｄ３）和（４）３ｍｎ／２（ｎ＋ｍ）是整数．
当ｋ＝４时，Ｋｍ。的Ｋ１．４一因子分解存在性问题已被部分解决．Ｕｓｈｉｏ在论文［８］中研究了Ｋ。，。的Ｋｌ，４一因子分解问题，并给出了几种构作，进而得到下列结果．
定理１．３（Ｕｓｈｉｏ［８】）如果（１）ｍ一＜４ｎ，（２）ｎ一＜４ｍ，（３）４ｍ－ｎｊ４ｎ．ｍｉ０（ｍｏｄ１５）和（４）（４ｍ－ｎ）（４ｎ—ｍ）－－＝Ｏ（ｍｏｄ１８０（ｍ＋ｎ）），则Ｋ。，。存在Ｋ１．４＿因子分解．
当ｋ是质数Ｐ时，Ｋ。，。的Ｋｌ，ｐ一因子分解问题也已被部分解决．在论文［１０］中，Ｗａｎｇ对质数Ｐ研究了Ｋ。，。的Ｋ１，ｐ＿因子分解问题，并给出了Ｋ。，。可Ｋ１．厂因子分解的一个充分条件．
定理１．４（Ｗａｎｇ［１０］）当Ｐ是质数时，如果（１）ｍ≤ｐｎ，（２）ｎ≤ｐｍ，（３）ｐｍ－ｎ５ｐｎ．ｍ－－一０（ｍｏｄ（ｐ２１））和（４）（ｐｍ．ｎ）（ｐｎ．ｍ）；０（ｒｏｏｄＰ（Ｐ．１）（ｐ２－１）（ｍ＋ｎ）），则Ｋ。，。存在ＫＩ，ｐ－一因子分解．
随后，在将Ｗａｎｇ的结论由质数推广到任意正整数方面又做了许
塞全三塑里塑鉴址：里王坌壁一————————————————————堕多工作．在论文［３］和［４】中，Ｄｕ将Ｗａｎｇ的结果推广到ｋ为质数幂ｐ”的情形，得到如下结论．
定理１．５（Ｄｕ【３，４］）当Ｐ是质数且ｕ为正整数时，如果（１）ｍ≤ｐＵｎ，（２）ｎ≤ｐＵｍ，（３）ｐＵｍ．ｎ５ｐＵｎ—ｍ；０（ｒｏｏｄ（ｐ２ｕ１））和（４）（ｐ”１１１．ｎ）（ｐ“ｎ，ｍ）ｉ－０（ｒｏｏｄｐ“（ｐ“一１）（ｐ２ｕ－１）（ｍ＋ｎ）），则Ｋ。，。存在Ｋｌ，ｐｕ一因子分解．
没头脑和不高兴下载在论文［５］中，Ｄｕ又对ｋ是质数积ｐｑ的情形研究了Ｋ娜的Ｋ１．ｐｒ因子分解问题，并指明Ｗａｎｇ的结论对于质数积ｐｑ也成立．定理１．６（Ｄｕ［５１）当Ｐ和ｑ都是质数时，如果（１）ｍ≤ｐｑｎ，（２）ｎ、＜ｐｑｍ，（３）ｐｑｍ．ｎ２ｐｑｎ．ｍ＝０（ｍｏｄ（ｐ２ｑ２＿１））和（４）（ｐｑｍ—ｎ）（ｐｑｎ．ｍ）三０（ｍｏｄＰｑ（Ｐｑ．１）（ｐ２ｑＺ＿１）（ｍ＋ｎ）），则Ｋ。，。存在Ｋｌ’ｐｑ一因子分解．本文将给出上述问题的一个完整解，得出Ｗａｎｇ在文［１０】中所给出的充分条件对于任意正整数也成立．即我们将证明下面的定理．定理１．７当ｋ为任意正整数时，如果（１）ｍ一＜ｋｎ，（２）ｎ一＜ｋｒｎ，（３）ｋｍ．ｎ三ｋｎ．１＇ｌｑ＿三０（ｍｏｄ（ｋ２－１））和（４）（ｋｍ＿ｎ）（ｋｎ．ｍ）三０（ｍｏｄｋ（ｋ．１）（ｋ２－１）（ｍ＋ｎ）），则Ｋ。，。存在ＫＩ，『因子分解．
对于ＸＫ。．的Ｋ１．ｒ因子分解的存在性问题也已经有了一些结果．在论文［２】中，Ｄｕ研究了ｐＫ娜的Ｋｌ，。一因子分解问题，并给出