线段最值-阿氏圆太阳照常升起 久石让
一.阿氏圆的定义
已知平面两个定点A 、B 到一动点P 的比值为一定值k （k ≠1），即P A ：P B =k （k ≠1），那么这个动点P 的轨迹是一个圆。 注意：
1、此圆与直线AB 交于点E 和点F ，点E 以定比内分线段AB，点F 以定比外分线段AB;
2、k=1，此动点在定线段的垂直平分线上。 图文：
A B P
O
B
P
A
K
PB PA =                  1==K PB
PA
【专题说明】
“阿氏圆”模型核心知识点是构造母子型相似，构造△P AB ∽△CA P 推出 2
PA =PC PB •，即：半径的平方=原有线段⨯
构造线段。 【模型展示】
如下图，已知A 、B 两点，点P 满足P A ：P B =k （k ≠1），则
满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．
A
B P
O
（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的
角平分线，则AB DB
AC DC
=． F
E
D
C
B
A
证明：
ABD ACD
S
BD S
CD =
，ABD ACD
S
AB DE AB
S
AC DF AC ⨯=
=
⨯，即AB DB AC DC
=
（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的
角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DB
AC DC
=． A
B
C
D
E
证明：在BA 延长线上取点E 使得AE =AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD =ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DB
AC DC =．接下来开始证明步骤： N
M
A
P
如图，P A ：P B =k ，作∠A P B 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，
MA PA
后弦最好听的歌k MB PB
==，故M 点为定点，即∠A P B 的角平分线交AB 于定点；
作∠A P B 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，
NA PA k NB PB
==，故N 点为定点，即∠A P B 外角平分线交直线AB 于定点；又∠M P N =90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆．
O
P
B M
【技巧总结】
在“阿氏圆”问题中，其实并不会考察其原理的证明，经常是与相似三角形中的母子型相似结合进行考察，这对母子型相似三角形是
如下图所示，设∠APM=∠B PM=α,∠PAM=β,
∴∠B MP=α+β
∵OM=OP
陶喆i love you歌词∴∠B MP=∠O PM=α+β
∴∠B PO=∠A=α,∠A OP=∠POB贺军翔主演的电视剧
∴△AOP∽△PBO
根据之前的介绍，我们知道“阿氏圆”是一个动点P 到两个定点A、B的距离之比为定值，其轨迹是一个圆，但是在实际考试过程中，经常会隐藏一个定点，需要我们构造辅助线，把这个定点到，其核心
方法就是构造母子型相似，利用相似进行求解.
【引例】如图1所示，我们经常遇到在圆上一点P使得P A+k·P B的值最小，其实动点P的轨迹是“阿氏圆”；B点就是其中一个定点，另外一个定点在直线BO上，需要我们添加辅助线，利用母子型相似把这个定点到；而系数k 是动点P到两个定点的距离之比.解决步骤如下：
1.将系数不为1的线段端点与圆心相连，即连接OB、OP;
2.计算出这两条线段的长度之比，即
OB
OP ，会发现
OB
OP正好等于系数k;
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3.在OB上取一点C，使得k
OP
OC
=，此时可构造出△POC
∽△BOP，可得k
PB
PC
=，即PB
k
PC•
=；
4.可得P A+k·P B=P A+PC≥AC，所以当A、P、C三点共线时，取得最小值，即AC的长度.
阿氏圆总结：遇到”
“kPB
PA+型的最值问题，要将系数为K的线段转化为系数为1的线段，即要考虑”
飞轮海的歌
“PC
kPB=。求kAB
PA+可转化为PA+PC.
B
A
P
O
B C
A
P
O
B C
P P
A
O
图1              图2              图3  关键在于确定点C的位置，当点A、P、C三点共线时，PA+PC.最小，即PA+k·PB值最小。
（提示：kAB
PA+=k（
k
1
PA+PB），所以也可以将
k
1
PA转化为系数为1的线段。）