专题九  圆周运动与动能定理的综合考查
1.(2015·全国卷Ⅰ，17)如图，一半径为R、粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ水平。一质量为m的质点自P点上方高度R处由静止开始下落，恰好从P点进入轨道。质点滑到轨道最低点N时，对轨道的压力为4mg，g为重力加速度的大小。用W表示质点从P点运动到N点的过程中克服摩擦力所做的功。则(  )
A．W＝mgR，质点恰好可以到达Q点
B．W＞mgR，质点不能到达Q点
C．W＝mgR，质点到达Q点后，继续上升一段距离
D．W＜mgR，质点到达Q点后，继续上升一段距离
【答案】：C
【解析】：根据动能定理得P点动能EkP＝mgR，经过N点时，由牛顿第二定律和向心力公式可得4mg－mg＝m，所以N点动能为EkN＝，从P点到N点根据动能定理可得mgR－W＝－mgR，即克服摩擦力做功W＝。质点运动过程，半径方向的合力提供向心力即FN－mgcos θ＝ma＝m，根据左右对称，在同一高度处，由于摩擦力做功导致在右边圆形轨道中的速度变小，轨道弹力变小，滑动摩擦力Ff＝μFN变小，所以摩擦力做功变小，那么从N到Q，根据动能定理，Q点动能EkQ＝－mgR－W′＝mgR－W′，由于W′＜，所以Q点速度仍然没有减小到0，会继续向上运动一段距离，对照选项，C正确。
2.如图，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高，质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g。质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为(  )
A.mgR      B.mgR      C.mgR          D.mgR
【答案】　C
【解析】　在Q点质点受到竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两力的合力充当向心力，所以有FN－mg＝m，FN＝2mg，联立解得v＝，下滑过程中，根据动能定理可得mgR－Wf＝mv2，解得Wf＝mgR，所以克服摩擦力做功mgR，C正确。
3.如图所示，AB为半径R＝0.50 m的四分之一圆弧轨道，B端距水平地面的高度h＝0.45 m。一质量m＝1.0 kg 的小滑块从圆弧道A端由静止释放，到达轨道B端的速度v＝2.0 m/s。忽略空气的阻力。取g＝10 m/s2。则下列说法正确的是(  )
A．小滑块在圆弧轨道B端受到的支持力大小FN＝16 N
B．小滑块由A端到B端的过程中，克服摩擦力所做的功W＝3 J
C．小滑块的落地点与B点的水平距离x＝0.6 m
D．小滑块的落地点与B点的水平距离x＝0.3 m
【答案】BC
【解析】小滑块在B端时，根据牛顿第二定律有FN－mg＝m，解得FN＝18 N，A错误；根据动能定理有mgR－W＝mv2，解得W＝mgR－mv2＝3 J，B正确；小滑块从B点做平抛运动，水平方向上x＝vt，竖直方向上h＝gt2，解得x＝v·＝0.6 m，C正确，D错误。
4.如图所示，传送带A、B之间的距离为L＝3.2 m，与水平面间的夹角θ＝37°，传送带沿顺时针方向转动，速度恒为v＝2 m/s，在上端A点无初速度地放置一个质量为m＝1 kg、大小可视为质点的金属块，它与传送带的动摩擦因数为μ＝0.5，金属块滑离传送带后，经过弯道，沿半径为R＝0.4 m的光滑圆轨道做圆周运动，刚好能通过最高点E。已知B、D两点的竖直高度差h＝0.5 m(g取10 m/s2)求：
(1)金属块经过D点时的速度；
(2)金属块在BCD弯道上克服摩擦力做的功。
【答案】　(1)2 m/s　(2)3 J
【解析】(1)金属块在E点时，mg＝m，
解得vE＝2 m/s，在从D到E过程中由动能定理得：
    －mg·2R＝mv－mv，    解得vD＝2 m/s。
(2)金属块刚刚放上传送带时，mgsin θ＋μmgcos θ＝ma1，
    解得a1＝10 m/s2，
    设经位移x1达到共同速度，则
    v2＝2a1x1，
    解得x1＝0.2 m＜3.2 m，
    继续加速过程中，mgsin θ－μmgcos θ＝ma2，
    解得a2＝2 m/s2，
    由x2＝L－x1＝3 m，v－v2＝2a2x2，
    解得vB＝4 m/s，
    在从B到D过程中由动能定理得
    mgh－W＝mv－mv，
    解得W＝3 J。
5.如图所示，一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a和b，跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆C和D上，质量为ma的a球置于地面上，质量为mb的b球从水平位置静止释放。当b球摆过的角度为90°时，a球对地面压力刚好为零，下列结论正确的是 (  )
    A．ma∶mb＝3∶1
    B．ma∶mb＝2∶1
    C．若只将细杆D水平向左移动少许，则当b球摆过的角度为小于90°的某值时，a球对地面的压力刚好为零
    D．若只将细杆D水平向左移动少许，则当b球摆过的角度仍为90°时，a球对地面的压力刚好为零
【答案】AD
【解析】：设D杆到b球的距离为r，b球运动到最低点时的速度大小为v，则mbgr＝mbv2，m练习题mvag－mbg＝，可得ma＝3mb，所以选项A正确，B错误；若只将细杆D水平向左移动少许，设D杆到球b的距离变为R，当b球摆过的角度为θ时，a球对地面的压力刚好为零，此时b球速度为v′，如图所示，则mbgRsin θ＝mv′2，3mbg－mbgsin θ＝，可得θ＝90°，所以选项C错误，D正确。