《弹性碰撞》练习精选
1．卢瑟福（诺贝尔物理奖得主）在一篇文章中写道：能够预言，当α粒子与氢原子相碰时，可使之迅速运动起来。按正碰撞考虑很容易证明，氢原子速度可达α粒子碰撞前速度的1.6倍，即占入射粒子能量的64%。试证明此结论（碰撞是完全弹性的，且α粒子质量接近氢原子质量的四倍）。
2．一质量为m钢球静止在质量为M铁箱的光滑底面上，如图示。CD长L，铁箱与地面间无摩擦。铁箱被v时开始做匀速直线运动。后来箱壁与钢球发生弹性碰撞。问碰后再经过多长
加速至
时间钢球与BD壁相碰。
3．在一铅直面内有一光滑的轨道，轨道左边是光滑弧线，右边是充足长的水平直线。现有质量分别为m A和m B的两个质点，B在水平轨道上静止，A在高h处自静止滑下，与B发生弹性碰撞，碰后A仍可返回到弧线的某一高度上，并再度滑下。求A，B至少发生两次碰撞的条件。
4．如下图，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直平面内．小球A、B质量分别为m、βm（β为待定系数）．A
球从左边与圆心等高处由静止下滑，与静止于轨道最低点的B 球相撞，碰撞后A 、B 球能达到的最大高度均为
R 4
1
，碰撞中无机械能损失．重力加速度为g 。试求：（1）待定系数β；（2）第一次碰撞刚结束时小球A 、B 各自的速度和B 球对轨道的压力；（3）小球A 、B 在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论小球A 、B 在轨道最低处第n 次碰撞刚结束时各自的速度。（06年高考重庆卷第25题，20分）
5．某兴趣小组设计了一种实验装置，用来研究碰撞问题，其模型如题25图所示用完全相同的轻绳将N 个大小相同、质量不等的小球并列悬挂于一水平杆、球间有微小间隔，从左到右，球的编号依次为1、2、3……N ，球的质量依次递减，每球质量与其相邻左球质量之比为k （k ＜1).将1号球向左拉起，然后由静止释放，使其与2号球碰撞，2号球再与3号球碰撞……所有碰撞皆为无机械能损失的正碰.(不计空气阻力，忽略绳的伸长，g
取10 m/s 2
)
。(1)设与n +1号球碰撞前，n 号球的速度为v n ，求n +1号球碰撞后的速度。(2)若N ＝5，在1号球向左拉高h 的情况下，要使5号球碰撞后升高16h (16 h 小于绳长)问k 值为多少？(3) 第（2）问的条件下，悬挂哪个球的绳最容易断，为什么？（07年高考重庆卷第25题，20分）
《<；弹性碰撞>试题精选》讲评
主讲：杨得发  校对：高双
A
B  O
R
1．讲解：设α粒子的质量为m 4，氢原子的质量为m ；
α
粒子的初速度为0v ，氢原子的初速度为零。正碰后，α粒
子的速度为1v ，氢原子的速度为2v 。由动量守恒和动能守恒可得：
21044mv mv mv +=-----------------------○
1 2221202
1421421mv mv mv +=----------------○2 解得：0
0261442v .v m
m m v =+⋅=-------------○
3 入射α粒子的能量：20练习题mv
42
1v )m (
氢原子碰后的能量：20
612
1)v .(m
则：64042
16121
202
0.v )m ()v .(m =-----------------○
4 原命题得证。
点评：请务必牢记弹性碰撞的双守恒方程（动量守恒和动能守恒）和双结论（0
2
1211v m m m m v +-=，02
11
22v m m m v +=）。
2．讲解：箱壁AC 与钢球发生弹性碰撞，动量守恒、动能守恒：
210mv Mv Mv +=-------------------○
1 22
21202
12121mv Mv Mv +=----------------○2 解得：0
1v m
M m M v +-=-------------------------○3      02
2v m
M M v +=------------------------○
4 设箱向前运动s 米后，钢球再次与箱壁BD 相碰，则有：
t v s 1=----------------------------------○5 t v L s 2=+------------------------------○6 解得：0
v L t =-----------------------------○
7 点评：若m M <，你会求解吗？
3．解：A 下滑的过程只有重力做功，机械能守恒：
gh m v m A
A =202
1---------------------------○
1 解得：gh v 20=
------------------------○
2 A 与B 发生完全弹性碰撞，研究对象为A 和B 组成的系统，动量守恒、动能守恒：
B B A A A v m v m v m +=0---------------○
3 22202
12121B B A A A v m v m v m +=----------○4 解得：0
v m m m m v B
A B A A +-=--------------○
5      02v m m m v B
A A B
+=--------------○
6 A 返回某高度又滑下，仍满足机械能守恒，返回后的速度仍为
'v A ，且其大小0
v m m m m v 'v
B
A A
B A A
+-=
-=--------○7
只要B A v 'v >就能再碰，即：0
02v m m m v m m m m B A A B A A B +>+----○
8 解得：A B
m m 3>。
点评：机械能守恒的条件是：只有重力、弹簧的弹力作功。动量守恒的条件是：系统不受外力或所受外力之和为零。
4．（06年高考重庆卷第25题，20分）
讲解：（1）因为碰撞中无机械能损失，根据机械能守恒有：
mgR mgR mgR β4
141+=
-----------○
1 解得：β=3。
（2）因为碰撞后A 、B 球能达到的最大高度均为R 4
1，且
碰撞中无机械能损失，所以第一次碰撞刚结束时小球A 一定反向运动．
设碰前小球A 的速度大小为v ，以水平向右为正方向，第一次碰撞刚结束时小球A 、B 的速度大小分别为1v 、2v ．
碰前：22
1mv mgR =-----------------○
2 碰后：21
2
14mv R mg =----------------○
3 22
2
14mv R mg
ββ=-------------------○4 碰撞作用瞬间系统动量守恒：
21)(mv v m mv β+-=----------------○5 解得：2
221gR
v v ==（小球A 速度方向向左，小球B 速度方向向右）
轨道对B 球的支持力N 由牛顿第二定律得：
R
v m mg N 2
2
ββ=------------------○
6 解得：N =4.5mg
所以B 球对轨道的压力N /
= N =4.5mg ，方向竖直向下，作用点在轨道上。
（3）根据机械能守恒，小球A 、B 在轨道最低处第二次碰撞前的速度大小仍为1v 、2v ，仅仅小球A 的速度方向向右，小球B 的速度方向向左．设它们第二次碰后的速度大小分别为
3v 、4v ，由动量守恒：
4321mv mv mv mv ββ+=----------○7 根据能量守恒：24
232
121mv mv mgR β+=--○
8 解得：gR v 23-=，4v =0（另一组解不合题意，舍去．） 即小球A 、B 在轨道最低处第二次碰撞刚结束时，小球A 的速度大小为gR 2，方向水平向左，小球B 静止．
小球A 、B 在轨道最低处第n 次碰撞刚结束时各自的速度为： 当n 为奇数时，碰撞刚结束时各自的速度和第一次碰撞结束时相同；
当n 为偶数时，碰撞刚结束时各自的速度和第二次碰撞结束时相同．
点评：此题考查的知识点：○
1弹性碰撞；○2动量守恒定律；○
3机械能守恒定律；○4动能守恒定律；○5竖直平面圆周运动最低点的向心力；○
6用牛顿第二定律处理圆周运动的问题. 此题也可用:12mv
mv mv β=+(弹性碰撞动量守恒)，22212
111222
mv mv mv β=+(弹性碰撞动能守恒)结合解得:1m m v v m m
ββ-=+,2
2m
v v m m
β=+求解。同学们学习时应达到
此题的难题要求，否则高考物理就不能取得好成绩。
5．（07年高考重庆卷第25题，20分）
讲解：（1）设1号小球质量为m ，则2号小球的质量为
km ，3
号小球的质量为
m k 2，……第n 号小球质量为
m k n 1-，第1+n 号小球的质量为m k n 。由动量守恒定律可
得：
''111
+--⋅+⋅=⋅n n n n n n v m k v m k v m k
……○
1 由动能守恒可得：
21
2121'2
1'2121+--+=n n n n n n mv k mv k mv k ○
2 解得：n n n n n n v k
v m k m k m k v +=+=--+122'111…○3 （2）设1号球摆至最低点的速度为1v ，5号球碰后在最低点的速度为'5v ，由机械能守恒定律可得：
mgh mv =21
2
1………………○4    h mg k mv k 16'2
1425
4=………○
5 解得：gh v 21=
gh v 24'5=
所以：154'v v =……………………○6 由○
3可得： 14233245)12()12()12(12'v k
v k v k v k v +=+=+=+=
--○
7 由○
6、○7可得：4)12(4=+k
………○8 解得：)12(414.012舍去--=≈-=k k ○
9 （3）设绳长为L ，每个小球在最低点时，细绳对球的拉力为F ，由牛顿第二定律可得：
L
mv k mg k F n n n 2
11--=-…………○10
解得：kn
n n n n E L
mg k mv k L mg k F 22121211+=⋅+=---…○
11 ○
11式中kn E 表示第n 号球在最低点的动能。 由题意可知，1号球的重力最大，又由机械能守恒定律可知1号球在最低点时动能也最大，所以1号球摆到最低点时细绳的张力最大，故悬挂1号球的绳最容易断。
点评：此题考查的知识点：○
1动量守恒定律：''221101v m v m v m +=（已知20v =时）
。○2动能守恒：222211201'2
1'2121v m v m v m +=。○
3由这两式解出的结论：02
1211'v m m m m v +-=
，021122'v m m m v +=
。○4机械能守恒定律：在只有重力(弹簧的弹力)做功的条件下，动能和势能相互转化，但机械能的总量保持不变，即12
E E =。○
5圆周运动的牛顿第二定律：r
mv F 2
=
向心力。同学们学习时应达到此题的难题要求。