数学部分•经典题突破方法高一使用 2020年12月
圆与方程常见典型考题赏析
■张建钢
圆与方程是高考的必考知识点，同学们
要理解和掌握确定圆的几何要素，掌握圆的
方程的应用，树立用代数方法处理几何问题
D.
x 2 + (y — 3 )2 = 4
A.
x 2+ (y — 2)2 ==1
B.x 2+ (y + 2)2 ==1C . .x T)2 +(y —-3)2 ==1
的思想题型1：求圆的方程
提示：根据题意可设圆的方程为x 2 +
求圆的方程的两种方法：①几何法，根据
圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进
(y —b )2 = 1。因为圆过点A (1,2)，所以12 +
李亚玲(2 —b )2 = 1解得b = 2o 故所求圆的方程为
而写出方程；②待定系数法，根据题意列出关 于a ,, 或 D , E , F 的方程组，解出a ,,
x 2 + (y —2)2 = 1。应选 A 。
题型2：与圆有关的轨迹问题
或D^EF ，代入标准方程或一般方程。确定
垂直平分线上；③两圆相切时，切点与两圆的 圆心共线。
例1 圆心在直线x — 2y — 3 = 0上，且
过点A (2, — 3),B ( — 2, — 5)的圆的方程为
解：几何法)设点C 为圆心。由点C 在 直线x — 2y — 3 = 0上，可设点C 的坐标为
(2a + 3,a )。又该圆经过A ? B 两点，所以
CA = CB ，艮卩丿(2a +3一2)2 + (a + 3)2 =与圆有关的轨迹问题的几种常见求法:
①定义法，根据圆的定义，写出方程；②几何 法，利用圆的性质，列出方程求解；③代入法, 出要求点与已知点的关系，代入已知点满
足的关系式求解。
例2 已知定点 M ( —3,)动点N 在
圆x 2+ y 2 =4上运动，以OM , ON 为两边作 平行四边形MONP ，求点P 的轨迹。
解：设点P ( x , y )，点N ( x 0 , y Q ，则线段
OP 的中点坐标为
x y
2，2
，线段MN 的中点
(2a +3 + 2)2 +(a + 5)2，解得 a = 一2，所以圆
从士一 斗 /x n ——3 60 + 4 \ 坐标为(―^，―^)
因为平行四边形
心C 的坐标为(—1,—2)，半径r = 10 o 故所
求圆的方程为(x + 1)2 + (y +2)2 = 10。
(待定系数法)设所求圆的标准方程为
(x —a )2 + (y —b )2=r 2。由题意可得方程组
'(2 —a )2 + ( —3 —b )2=r 2,
< (—2 —a )2 + ( — 5 —b )2 = r 2，解得 a = — 1 ,
a 一 2
b 一 3 = 0,
b = — 2,r 2 = 10。故所求圆的方程为(x +
1)2 + (y +2)2 = 1 0 o
(待定系数法)设所求圆的一般方程为
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ，则圆心坐标为
MONP 的对角线互相平分，所以x = x —y _ y 0 + 4
2 =
2
!
x ° = x + 3 ,
y 0 = y — 4。
又点 N (x + 3,y —4 )在圆 x 2 + y 2 = 4
上，故(x +3)2 + (y —4)2=4，即点P 的轨迹是以(一3,4)为圆心，2为半径的圆，这里O ,
M , 三点不共线，应除去直线OM 与轨迹
相交的两点
跟踪训练2：已知以点P 为圆心的圆经
过点A (—1,0)和B (3,4)，线段 AB 的垂直
(-D ，-2)
由题意可得D ,E , F 的方程
组(略)，解得D = 2,E = 4,F = —5。故所求会很美
告别娑婆
圆的一般方程为x 2+y 2+2x +4y — 5 = 0。
跟踪训练1圆心在y 轴上，半径长为1 ,
且过点A (12)的圆的方程是(
)o
平分线交圆P 于点C 和D ，且 CD =
4 10。
(1)
求直线CD 的方程。
(2) 求圆P 的方程。
提示：1)因为直线AB 的斜率-AB = 1 ,
线段AB 的中点坐标为(12),-cd = — 1 ，所
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以直线CD的方程为y—2=—(x—1)，即x+y一3=0。
(2)设圆心P(a,)。由点P在直线CD 上，可得a+b—3=0。因为直径CD= 410，所以PA=210，所以(a+1)2+
!a3,(a5,
或｛所以
b=6b=—2,
圆心P(—3,)或P(5,—2)。
故圆P的方程为(x+3)2+(y—6)2= 40或(x—5)2+(y+2)2=40。
题型3：直线与圆的相切问题
求过圆上一点(x n?y n)的切线方程的方法：先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，可结合图形直接写出切线方程为x=x0；若k=0，可结合图形直接写出切线方程为y=y0；若k存在且k H0，由垂直关系
知切线的斜率为一1，再由点斜式可写出切线方程。
k
求过圆外一点x y)的切线方程的两种方法：①几何法，由圆心到直线的距离等于半径，可求出k的值，进而写出切线方程；②代数法，由切线方程为y—y0=k(x—x o)，即y=kx—kx0+y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由4=0，求得k，则切线方程即可求出。当点(x0y0)在圆外时，一定要注意斜率不存在的情况。
例3过点P(2,)作圆(x—1)2+(y—1)2=1的切线，则切线方程为()。
A.
3x+4y—4=0
B.
.x一3y+4=0
C.x=2或4x一3y+4=0
D.y=4或3x+4y—4=0
解：当斜率不存在时，直线x=2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y—4=
k(x—2)，艮卩kx—y+4—2k=0，则
k k
=1，解得k=4，可得切线方k+13
程为4x—3y+4=0。故所求切线方程为x=2或4x—3y+4=0。应选C。
跟踪训练3：若圆C：x2+y2+2x一4y+ 3=0关于直线2a x+by+6=0对称，过点(a,b)作圆的切线，则切线长的最小值是()。
A.2
B.3
C. D.6
提示：由圆C的标准方程为(x+1)2+ (y—2)2=2，可得圆心为(—1,2)，半径为2。因为圆C关于直线2a x+by+6=0对称，所以圆心C在直线2a x+by+6=0上，可得—2a+2b+6=0，即b=a—3。由点(a,b)到圆心的距离d=\/(a+1)2+(b—2)2=
V/(a+1)2+(a—3—2)2=v2a2—8a+26= 2(a—2)2+18，可知当a=2时，d取最小值18=32，此时切线长最小，其最小值为丿(Q)2—")2=4。应选C。
题型4：弦长问题
弦长的两种求法：①代数法，将直线和圆的方程联立，肖元后得到一个一元二次方程,
在判别式4>0的前提下，由根与系数的关系，利用弦长公式求解；②几何法，弦心距为d，圆的半径为r，则弦长l=2厶2—d2。
例4若a2+b2=2q2(工0)，则直线ax+by+c=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为()。
入2B1
解：因为圆心(0,0)到直线ax+by+c=
0的距离d=,c=舟，因此根
a+b22c2
据直角三角形的关系，可知弦长的一半等于
，所以弦长为2。应选D
跟踪训练4：设直线y=kx+1与圆x2+ y2+2x一my=0相交于A,B两点，若点A, B关于直线l：x+y=0对称，则AB=
提示：因为点A,B关于直线l：x+y=0对称，所以直线y=kx+1的斜率k=1，即y=x+12)在直线lx+
(-1
又圆心
y=0上，所以m=2，则圆心的坐标为(一1,
姿份子1)半径r=2，所以圆心到直线y=x+1的距离d=琴。故丨AB=2r2—d2=声。
题型5：圆与圆的位置关系
几何法判断圆与圆的位置关系的三个步骤：①确定两圆的圆心坐标和半径长；②利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，再求r+r，丨厂1一r‘③比较dr+r,I r—r2I的大小，写出结论。
例5已知圆C1：x2+y2一2x一6y一1=0和C2：x2+y2一10x一12y+45=0o
(1)求证：圆C1和圆C2相交。
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长。
解：(1)圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1= /TT，圆C2的圆心C2(5,6)，半径r2=4，两圆的圆心距d=I C1C2=5,1+r=/1+
4,|厂1—r=4—v1T，所以I r—r V d V r+r，可知圆C1和C2相交。
(2)圆C1和圆C‘2的方程相减可得4x+ 3y—23=0，所以两圆的公共弦所在的直线方程为4x+3y—23=0o圆心C2(5,6)到直线
20+18一23
4x+3y一23=0的距离d=---------------=
716+9
3，故公共弦长为216—9=27o
跟踪训练5：已知圆M:x2+y2—2a y=0 (a>0)截直线x+y=0所得线段的长为22，则圆M与圆N：(x—1)2+(y—1)2=1的位置关系是()o
A.内切
B.相交
C.外切
D.相离
xx2+y2一2a y=0，提示：(方法1)由｛可
［工+y=0,
得两交点为(0,0),(—a,)。
由圆M截直线所得线段的长为22，可得\/a2+(a)2=2-^2。
因为a>0，所以a=2，所以圆M的方程
为x2+y2—4y=0，即x2+(y—2)2=4，其中
圆心M(0,)，半径r1=2o
又因为圆N：x—1)2+(y—1)2=1圆
心N(1,1)，半径r2=1，所以MN=
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高一使用2020年12月丁于虫窓丿王4G (0—1)2+(2—1)2=2。
由r—r=1r+r=3，可得1V MN V3，可知两圆相交。应选B。
(方法2)由题意可知圆M的圆心(0,a)
到直线x+y=0的距离d=a，所以
2
2J a2—2=2松(a>0)，解得a=2。因为圆M与圆N的圆心距MN=2，而两圆半径之差为1两圆半径之和为3，所以两圆相交。应选B。
题型6：与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题的常见命题角度:
步步惊心歌词y—b
①斜率型最值问题，即形如“=—的最值
x—a
问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②截距型最值问题，即形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③距离型最值问题，即形如(x—a)2+(y—b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题；④建立目标函数求最值问题。
例6已知点P(x,y)为圆(x—2)2+
y2=1上的动点，则|3x+4y—3|的最大值为
解：设t=3x+4y一3，艮卩3x+4y一3一t=0。由圆心(2,0)到直线3x+4y—3—t= 0的距离d=6—3—^<1，解得一2三£三8,
丿32+42
故3x+4y—3mx=8。
跟踪训练6：已知实数xy满足方程x2+y2—4x+1=0，求y—x的最大值和最小值。
提示：已知圆的圆心为(2,0)，半径为佰。y—x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距。当直线y=x+b与圆相切时，可知纵截距b取得最大值或最小值，此时|2二小=
2
3，解得b=—2士6o故y—x的最大值为
—2+6，最小值为一2—6。
题型7：直线与圆的综合问题
直线与圆的综合问题的求解策略：①利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数
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化)，巴它转化为代数问题，通过代数的计算， 使问题得到解决；②直线与圆和平面几何联系
十分紧密，可充分考虑平面几何知识的运用， 如在直线与圆相交的有关线段长度的计算中，
要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆
截得的线段长度放在一起综合考虑。
例7 已知直线l ：4x +ay — 5 = 0与直
线l /：x — 2y =0相互垂直，圆C 的圆心与点
(2,)关于直线l 对称，且圆C 过点 M (—1 ,
—1)。
(1) 求直线l 与圆C 的方程。
(2) 过点M 作两条直线分别与圆C 交于
P.Q 两点，若直线 MP , MQ 的斜率满足 I mp + k mq = 0 ，求证：直线PQ 的斜率为1。
解：1)由直线l ：4x +ay —5 = 0与直线
'x — 2y = 0相互垂直，可得4 X 1 —2a =0,
解得a = 2 ，所以直线l 的方程为4x + 2y — 5 = 0。
设圆C 的圆心C ( m , n )。由圆心C ( m ,
n )与点(2,)关于直线l 对称，可得方程组
n~
--------X (―2) = —1 , m ——2
m + 2 n + 1
4X 2 +2X 2 —5 = 0,
!
m = 0 ,
所
n = 0 ,
以圆心C (0,0)，可得圆C 的半径r = CM = Q 。故圆C 的方程为x 2+y 2=2。
(2)设过点 M 的直线MP 的斜率为k ,
则过点M 的直线MQ 的斜率为一 k ，直线
MP 的方程为y + 1=k(x + 1)。由直线MP
与圆C 相交，可联立得到方程组
y + 1 = k (x + 1),
{
,,
消去y 可得(1+k)x 2 +
[工2 + y 2 = 2 ,
2k(k —1)x +k —2k —1=0。
因为圆C 过点M ( — 1 , — 1 )，所以x p X (-1) = k —k —1 ，可得 x p
1 +k 2
2k + 1—k
1+k 2
同理可知，将k 替换成一—可得x q
—k 2 — 2k + 1
1+k 2
利用 x q + x p 与 x q 一 x p ,
y Q — y p 易得直线PQ 的斜率为-PQ
x q 一 x p
一 k (x Q + 1 ) 一 1 一 k ( x P + 1) + 1
xq ——
x P
——k (..xq + x p )——2 k ]
xq
一 x p
°
跟踪训练7：如图1所示，在平面直角坐
标系x O y 中，已知圆C ： x 2 + y 2 一 4x = 0及 点 A (—10)B (1,2)。
(1)
若直线l 平行于AB ，且与圆C 相交
于M,N 两点，满足|MN = AB |，求直线l 的方程。
(2 )问在圆C 上是否存在点P ，使得
|PA |2+|PB |2 = 12。若存在，求出点P 的 个数；若不存在，请说明理由。
提示：(1)由圆C ：(x — 2)2+y 2=4，可知
圆心C (2,0)，半径为2。
由 l 〃ABA ( — 1,0)B (12)，可得直
2 — Q
线l 的斜率为1一(一1) = 1，于是可设直线l 的方程为x — y + m = 0 ，则圆心C 到直线l 2 — 0 + m
2 + m 的距离 d =---------0+-------= ————。
4— 4—
90后喜欢的歌曲因为 MN = AB =丿22 + 22 =22, IC M P=d 2 + (I M N )
2，所以 4 = (2m 2 + 2,
解得m = 0或m = —4。故直线l 的方程为
x — y = 0 或 x — y — 4=0。
(2) 假设圆C 上存在点P (xy )满足 PA 2 + PB 2 = 12 ，且(x — 2)2+y 2=4。
由丨 PA |2+ PB 2 = (x + 1)2+(y —0)2 +
(x —1)2 + (y — 2)2 = 12，即 x 2+y 2—2y —
3 = 0，可得 x 2 + (y —1)2=4。
因为 2 — 2 V (2 —0)2 + (0—1)2 V 2 + 2 ，所以圆(x — 2 )2 + y 2 =4 与圆 x 2 +
(y —1)2=4相交，可知存在点 P ，使得
|PA |2+|PB |2 = 12，且点P 的个数为2。
作者单位：浙江省诸暨市工业职业技术学校
(责任编辑 郭正华)
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