n阶m次积分C半的指数公式

第39卷第3期注為科修

Vol. 39 No. 3

2021 年 6 月

JIANGXI SCIENCE

Jun. 2021

doi ：10.13990/j. iin1001 -3679.2021.03.009

〃阶m 次积分C 半的指数公式

刘乔乔，赵华新*

收稿日期：2021 -03 -19；修订日期：2021 -04 -28

作者简介：刘乔乔(1996—)，女，硕士研究生，研究方向为泛函分析。

基金项目：国家自然科学基金项目(71961030)；延安大学研究生教改项目(YDYJG2019033)；延安大学2021年研究

生教育创新计划项目(YCX2021051)O

*通信作者：赵华新(1964—)，男，教授，研究方向为泛函分析。E - mail ：ydzhhx815@ 126. com 。

(延安大学数学与计算机科学学院,716000，陕西，延安)

摘要：算子半及其生成元之间的关系是算子半理论的一个重要问题。在n 阶a 次积分C 半的基5上，

给出了 n 阶m 次积分C 半的指数公式及其证明。

关键词:n 阶m 次积分C 半；次生成元；指数公式中图分类号：0177.2

文献标识码:A 文章编号：1001 -3679(2021)03 -436 -04

Exponential Formula for "- t h Order m - Times Integration C - Semigroups

LIE Qiaoqiao , ZHAO Huaxin *

(School of Mathematics and Computer Science , Yan' an University, 716000, Yan' an, Shaanxi, P

RC)

Abstract ：The vOtionship between operator semigroup and their generators is an impoVant problem

in operator theory. On the basis of n - th order a 一 times inteerated C 一 Semigroups , W v exponen tial formula of n - th order m 一 tirnes inWgraWd C 一 Semigroups and its pooof are given.

Key words : n - th order m - tirnes inteeration C - semigroups gsub - generatoo gexponentiai formula

0引言

1预备知识

算子半的生成、表示和逼近是重要的研究

课题，国内外许多学者对此作了大量的研究工作。

文献［1-4］讨论了 C 半及双参数C 半的指

数公式、谱以及扰动等；文献［5］研究了积分C 半的表示；文献［6-7］讨论了 m 次积分C 半的相关性质；文献［8-12］给出了 n 次积分C 半的表示定理、生成元及其相关性质；文献［13 -

16］研究了 n 阶a 次积分C 半概念、生成定理、

扰动等。本文在上述研究的基础上给出n 阶m 次积分C 半的基本概念及定义，并讨论了 n 阶 m 次积分C 半的指数公式。

X 为无限维的复Banach 空间，B(X)是X 上

有界线性算子全体所成的Banach 代数；T( t)丘

B (X ) , D(A )为线性算子A 的定义域，设n 丘N , m e N o 定义算子

/ T( t，三 0 ,n 二 0

FT(t 二 L *(t

| : 律、

T( s) d S ,t 0,n 三0

'Jol(n + 1)

易知T( t) =0当且仅当存在n M0，使J"T(t)= 0, M 0。

第3期刘乔乔等:n阶m次积分C半的指数公式-437-

2基本概念和引理大嘴巴mv

定义1山】：设n eN,m e N,C e B(X)是单射，"T(i)Uo$B(X)强连续，若存在闭线性算子4使式(1)、式(2)成立或式(1)、式(3)成立，

Vx e X,)(O,J"T(t)e D(A),T()-

)_頁Cx=AJ"T(t)x(1) 1(m+1)

Vx e D(A),(0,T()x---------Cx=

1(m+1)

J n T()Ax(2) Vx e D(A),)(0,T()x e D(A),AT()x =T()Ax(3)则称A是"T(的次生成元，"T(是n 阶m次积分C半，也称A次生成n阶m次积分C半"T(o

定义]：设"T()Uo是由A次生成n阶m 次积分C半，心(入,A)=入""(入"-A)-1C有定义在Banach空间X上的有界逆算子，则称入为n阶m次积分C半的次生成元A的C正则点, K(入,A)是A的C预解式，全体正则点的集合称为A的C预解集，写为p°(A)。

引理]：令n e N,m e N,C e B(X)是单射，A：D(A)$X)X为闭线性算子并满足A $C"AC,"T(t).o$B(X)强连续并满足||T()0<!"

*,)(0,#(0,!>0，可得下列3个命题等价。

1)n阶m次积分C半"T(的次生成元为A o

2)"入"丨ReA>max{#,0##$p”(A)，并满足下式

入"7(入"-A)'1Cx=I e"'T(t)xdt,x e

X,ReA>max"#,0}(4)

3)"入"丨入〉max"#,0##$p c(A)，并满足下式

"-A)'1Cx="I e"'T(t)xdt,x e X,Re A>max"#,0}(5) 3主要结果

定理1：设A次生成一个指数有界n阶m次积分C半"T(i)Uo，对Vx e D(A),ReA> #，则有：

尺,(A,A)x="("-A)'1Cx=" I""T®()x d t(6)其中％=0,1,2…n o

证明：因为A次生成指数有界n阶m次积分C半"T(步，所以由引理1的命题知式(4)成立，且对式(4)右端连续进行分部积分，

当％=1时，

R c(入,A)x=入"'I"”T()x d t

丿0

""丨-+e"'T(t)x-"-eT(t)xd)

=—>"<t(t)x

00产

I"”T'(t)xdt

利用指数有界性及n阶m次积分C半的性质有

—e"T(t)x@@—e"E"!x,

Am-"ie"W!x=0,

-z"T(t)x|(=o=0,

-”,」e"，T(t)x=0,

所以

R(—,A)x=—",I"“T()x d t。

当%=2时，同理

r+cc

R(—,A)x=—"i I e"，T()x d t二—"宀I e"'T()x d t o

由数学归纳法可得：

r+cc

R(—,A)x=—"i I e"'T⑴()xdt o

m严

引理2呵:m I&""""d”=1(7)

(m-1)!Jo

证明：对于广义积分r(s)=「x s"""dx=

J o

sS(s-1)，令s=m,x=m”代入即可得证。

引理3呵：设/()：[0,+8))X是一强连续函数，0/()0@,(!M0,#e R),%M0且%为整数，则有

m产

Am(m[)C I(e"r"/(t)_/(t)#d(=0,

ms(m-1)!J o

且极限对t在任何有界区间上是一致的。

定理2(指数公式)：设A为闭线性算子, "T(i)Uo是由A次生成的指数有界的n阶m 次

-438-江西科学2021年第39卷

积分C半，且存在!M0,#e R，使得||T(t0@，则对任意的“e D(A")和t M0有：

T""(t x=lim[—RC m,A)'|兀=lim

mfg L t-I t丿」mfg (C)5(11)由式(10)和式(11)两式可得

R(”/)*x=(%一])!0严(s)Xs，令s二m代入上式得

且极限对t在任何有界区间上是一致的。

证明：由式(6)可得，对于任意的x e

D(A"),Re>#有

r+cc

R(入，A)x=I(s')xds

将式(9)右端连续%-1次对入求导得到

/■—1/-CC/-CC

加J e"T(s)xds(s)xds

(9)

(10)且

R(O,A)-R(入,A)=0(0-A)-1C-入"7(入”-A)“C=(0-A)“(入”-A)“-0“CQ”-A)-(0-Ay'(入"-A)'1"C(0-A) =(0-A)'1(”_A)“0C(”-A)_”C(0-A)] =(0-A)'1(”-A)"[”0"(”-“)C-A(0"C-”C)],

”R((M)_R(")”1「”八“

lim----------------------=lim-----{((0-A)

0一入0一”

(”"-A)“[”"“0“(”-0C-A(0“C-”"“C)]#=lim^^-(0-A)“(””-A)“

快一^入灿一入

0"1(入一0C=lim—R(入，A)R(0A)(入-

卩一》•入口一人「

0C=-R(A,A)2C。

由

赳[空0十型-(-心(”,A)b)]

=lm1”[(”-“)R(",A)R(0A)C+(“灿一”

嗨曲

”)R(A,A)2C]=limR(”,A)R”(“,A)C+

梁博是谁的儿子

卩一》入

R(A,A)2C=limR(”,A)[R(”,A)-R”(0

卩一》入

杨洋吻郑爽

A)]C=0,

即

糸R(”,A)=-R(A,A)2C。

利用数学归纳法得到

jk—1

备R(”,A)x=—%-1)!R(”,A)

j”

R伴心=(%J卄〔e"T(&岡，

即

炉伴引“=(%_质0尸1

再由式(7)，则有

呼RR(■

*)「"-T(t)x

e严""T"(a)%-t(t)x

丿0

(%-1)!(C严

k m

(%-1)!(C)*-I严""[T"(&)x-T(j)x]J&,

由引理3得

II[弹(牛,A))x-T("“(t)x||—0(m )8),

故

T"")(t)x=lim[m R(m,A)]x=lim

mfg L)-I)丿」mfg

推论1：已知条件与定理2相同，则对任意x e D(A")及t(0有：

T(t)x=lim J L J[~R

(m,A))X(dt)m= lim J L lim J[)-

(-%)・]'c%(dt)m。

ms J0m—»cc J q L\m/」

证明：对定理2中的式(8)两端取m次积分即可得证。

参考文献：

[1]赵拓，赵华新，徐敏.C半和双参数C半的指数

公式[J].天津师范大学学报(自然科学版)，2013,

33(4)：13-15.

[2]刘嫗，宋晓秋，廖大庆.广义C半的指数公式与逼

近[J].徐州师范大学学报(自然科学版)，2007

(3)：32-34,39.

[3]赵华新，赵拓，徐敏.双参数C半的指数公式[J].

江苏师范大学学报(自然科学版)，2014,32(1)：44

-46.

(下转第473页

)

第3期曾志高等：山口岩水库坝前水域铁、猛垂向分布特征及成因分析-473-

[12]周正协，何建荣，虞静静，等.台风导致的水库原水

水质突变及其应对措施[J].中国给水排水,2018,

34(15)：35-38,43.

[13]蔡佑振.暴雨后水库中铁、猛超标成因分析[J].环

境科学导刊,2007(3)：77-78.

[14]刘術，曹永旭，赵彦龙.水库水体铁、猛污染调查与

成因研究[J].人民珠江,2009,30(3)：20-23, [15]王海霞，杨华.饮用水源水库铁、猛垂直分布规律

及原因[J].资源开发与市场,2005(2)：83-85. [16]詹晓，陈建，胡建军.山口岩水库水温计算及其

对下游河道水温影响分析[J].水资源保护,2005

(1)：29-31,35.

[17]国家环境保护总局.水和废水监测分析方法)M].

(第四版).北京：中国环境科学出版社,2002. [18]张垒，李秋华，黄国佳，等.亚热带深水水库一一龙

滩水库季节性分层与富营养化特征分析[J].环境

科学,2015,36(2)：438-447.

[19]卢金锁，李志龙.热分层对水库水质的季节性影

响一一以西安黑河水库为例[J]湖泊科学,2014,

(上接第438页)

[4]赵拓.双参数C半的指数公式、谱及其扰动[D].

延安：延安大学,2014.

[5]王彩侠，宋晓秋，张祥之.积分C半的一种表示[J].

徐州师范大学学报(自然科学版),2005(1)：24-26, [6]郭玲利.m次积分C-半与抽象柯西问题[J].井

冈山大学学报(自然科学版),2011,32(3)：9-12.

[7]王淑莉，宋晓秋，孙豹.关于双连续m次积分C半

扰动的两个结果[J].贵州大学学报(自然科学版),

2012,29(6)：5-8.

[8]刘曼，郭玲利."次积分C半的表示定理[J].徐

州工程学院学报,2005(5)：4-8.

[9]胡敏，宋晓秋，魏巍，等."次积分C-半的表示定

理[J].山东科技大学学报(自然科学版),2004(4):

89-91.

[10]秦喜梅，葛国菊.指数有界的双连续n次积分C半

及其生成定理[J].大学数学,2008,24(3):104-

26(5)：698-706.

[20]DIETMAR S,KLAUS J,HENNO R.Complex Cfecte

of winter warmin/on the physicochemical characterie-

tice of a deep lake[J].Limnolo/y and Oceanogra-

phy,2003,48(4)：1432-1438.

[21]曾明正，黄廷林，邱晓鹏，等.我国北方温带水

库一一周村水库季节性热分层现象及其水质响应

特性[J].环境科学,2016,37(4)：1337-1344. [22]张超莹，郑西来，陈蕾，等.水库沉积物中铁、猛季

节性释放的实验研究[J]水资源保护,2013,29

(3)：79-82,86.

[23]GANTZERP A,BRYANT L D,LIETLE J C.ControO-

On/soluble iron and man/anese in a water-supply

reservoir usin/hypolimnetic oxygenation.[J].Water

Research,2009,43(5)：1285-1294.

[24]温舸，彭圣军，刘小昌.饮用水水源地生态补偿机

制探讨一一以萍乡市山口岩水库为例[J]江西水

丁美婷

莫尔根利科技,2018,44(4)：288-292.

[11]常胜伟，赵华新，王晓梦.指数有界双连续n次积分

C半及其性质[J].西南民族大学学报(自然科学

版)，2008,34(1):15-19.

[12]常胜伟，赵华新.局部有界双连续n次积分C半的

生成元及其性质[J].江西科学,2008,26(4)：569-

571.

[13]张明翠，宋晓秋，黄翠.n阶a次积分C半[J].常

熟理工学院学报,2014,28(4)：33-37.

[14]张明翠.n阶a次积分C半的性质研究及应用

[D].徐州：中国矿业大学,2014：4-18.

[15]周裕然，赵华新，周阳.指数有界双连续n阶a次积

分C半的生成定理[J].河南科学,2020,38(6)：

861-864.

[16]周裕然，赵华新，周阳.n阶a次积分C半扰动的

一个结果[J].河南科学,2020,38(5)：694-697.

111.

n阶m次积分C半的指数公式

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